Question:
题目：基于四膜虫核酶冷冻电镜结构的催化机制与金属离子依赖性分析**
问题描述：已知解析的四膜虫核酶冷冻电镜结构（PDB:7EZ0, 7EZ2）显示其催化核心包含保守碱基U262和G264，二者通过氢键网络与Mg²+离子配位（坐标：U262-O6…Mg²+距离2.8 Å）。已知野生型核酶在10 mM Mg²+条件下的催化速率kcat为5.3 s-1，而U262A突变体kcat降至0.02 s-1。冷冻电镜密度图显示突变体中Mg²+结合位点消失。
问题：
1. 假设野生型核酶与Mg²+的结合符合希尔方程：
   $$k_{cat} = \frac{k_{max}[Mg^{2+}]^n}{K_d^n + [Mg^{2+}]^n}$$
   实验测得野生型在1 mM和5 mM Mg²+时的kcat分别为1.2 s-1和3.8 s-1。请计算希尔系数n和表观解离常数Kd（单位mM）。

2. 结合U262A突变体的结构-功能数据，从以下两方面分析Mg²+的作用：
   a) 为何突变导致Mg²+结合位点消失？（需描述U262的化学特征）
   b) 催化活性降低4个数量级的可能机制？

a) U262的酮基氧（O6）通过氢键与Mg²⁺配位，突变后丙氨酸（Ala）缺失氧原子，导致金属结合位点破坏。 b) Mg²⁺通过稳定过渡态电荷和精确空间定位催化基团，突变后失去离子配位使过渡态稳定能降低，导致活性骤降。


Question: 一条肽链的C末端是一个His残基，求pH=2.5的时候该残基的总带电情况。

在此环境中，要考虑His侧链的咪唑基团和主链C末端的羧基。其中咪唑基团pKa大约为6，但肽链上的C端羧基pKa必须考虑到环境不同，值不同于游离组氨酸羧基的pKa（约为2），实践上应该在3~4左右。因此pH=2.5的时候，His侧链带+1电荷，主链羧基主要是中性的，总带电+1。


Question:
蜂毒明肽（apamin）是存在蜜蜂毒液中的一个十八肽，其序列为
CNCKAPETALCARRCQQH，已知蜂毒明肽形成二硫键，不与碘乙酸发生反应，
问此肽中存在多少个二硫键？请设计确定这些（个）二硫键的可能位置。

1、卤化烷试剂碘乙酸能与巯基发生反应，该多肽不与碘乙酸发生反应说明此肽中不含游离的－SH，且其序列组成有 4 个－Cys 残基，所以应存在两个二硫键。
2、二硫键的位置可能有 3 种情况：
（1） 1 位 Cys 与 3 位 Cys 之间和 11 位 Cys 与 15 位 Cys 之间；
（2）1 位 Cys 与 11 位 Cys 之间和 3 位 Cys 与 15 位 Cys 之间；
（3） 1 位 Cys 与 15 位 Cys 之间和 3 位 Cys 与 11 位 Cys 之间；
第（1）种情况，用胰蛋白酶断裂将得到两个肽段和游离的 Arg；第（2）种和第（3）种，用胰蛋白酶处理将得到一个肽段和 Arg ；通过二硫键部分氧化可以把后两种情况区别开来。

3种情况：（1）Cys1位与3位间、11位与15位间；（2）Cys1位与11位间、3位与15位间；（3）Cys1位与15位间、3位与11位间。用胰蛋白酶断裂后得到的不同产物区分


Question: 体系中有1mol L-葡萄糖，1mol L-甘露糖和1mol L-果糖，往体系中加入过量苯肼，请问最终可以生成几种脎？

生成糖脎的反应是发生在C1和C2上，不涉及其他的碳原子。题目中的三种糖仅在第二级碳上构型不同，其他碳原子构型相同的差向异构体，因此必然生成同一个脎。


Question: 通过以下例子说明一个多阶段装配过程和一个单阶段装配过程哪个更容易控制蛋白质的质量。考虑一个多聚体酶复合物的合成，此复合物含 6 个相同的二聚体，每个二聚体由一个多肽 A和一个 B 组成，多肽 A 和 B 的长度分别为 300 个和 700 个氨基酸残基。假设从氨基酸合成多肽链，多肽链组成二聚体，再从二聚体聚集成多聚体酶，在这一建造过程中每次操作的错误频率为 $10^{-8}$ ，假设氨基酸序列没有错误的话，多肽的折叠总是正确的，并假设在每一装配阶段剔除有缺陷的亚结构效率为 $100 \%$ ，试比较在下列情况下有缺陷复合物的频率：（1）该复合物以一条 6000 个氨基酸连续的多肽链一步合成，链内含有 6 个多肽 A 和 6 个多肽 B。（2）该复合物分 3 个阶段形成：第一阶段，多肽 A 和 B的合成；第二阶段， AB 二聚体的形成；第三阶段， 6 个 AB 二聚体装配成复合物。

（1）有缺陷复合物的平均频率是 $6000 \times 10^{-8}=6 \times 10^{-5}$ 。
（2）由于有缺陷的二聚体可被剔除，因此有缺陷复合物的平均频率只是最后阶段的操作次数（ 5 次操作装配 6 个亚基）乘以错误频率，即 $5 \times 10^{-8}$ 。因此分 3 个阶段合成比一步合成所产生的缺陷频率约低 1000 倍。

一步合成有缺陷复合物的频率为$6 \times 10^{-5}$
分3阶段合成有缺陷复合物的频率为$5 \times 10^{-8}$


Question: 人类白细胞抗原（HLA）系统是人体适应性免疫系统的关键组成部分，负责向T细胞呈递肽抗原，从而启动特异性免疫反应。HLA基因位于人类第6号染色体，是人体最复杂和多态性最高的基因区域。HLA分子与药物诱导的肾脏疾病有密切关联，请举例说明。

HLA-B*57:01与阿巴卡韦（abacavir）引起的超敏反应相关；HLA-B*58:01与别嘌呤醇（allopurinol）引起的超敏反应相关。


Question: 人类白细胞抗原（HLA）系统是人体适应性免疫系统的关键组成部分，负责向T细胞呈递肽抗原，从而启动特异性免疫反应。HLA基因位于人类第6号染色体，是人体最复杂和多态性最高的基因区域。请阐述HLA分子的编码和组成。

HLA-I类分子由HLA-A、HLA-B和HLA-C基因编码，其结构包括一个α链和β2-微球蛋白，肽结合槽由α1和α2段形成。HLA-II类分子由HLA-DR、HLA-DQ和HLA-DP等基因编码，其结构包括一个α链和一个β链，肽结合槽由α1和β1段形成


Question:
某学校数学小组建立了如下的数学模型：将一个小盒里放入 6 个小球，其中 4 个黑球， 2 个红球．模型一为：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则放回小盒并再往小盒里加入 2 个红球；模型二为：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中。
（1）分别计算在两种模型下，抽两次球，第二次取到的球是红球的概率；
（2）在模型二的前提下：
（1）求在第 $n(n \geq 2)$ 次抽球时，抽到的球恰好是第二个红球的概率（结果用 $n$ 表示）。
（2）现规定当两个红球都被抽出来时停止抽球，且最多抽球 10 次，第 10 次抽球结束后无论盒中是否还有红球均停止抽球，记抽球的次数为 $X$ ，求 $X$ 的数学期望．

（1）记在模型一下，第二次取到红球的概率为 $P_{1}$ ，则分为取到＂黑红＂和＂红红＂两种情况，
则 $P_{1}=\frac{4}{6} \times \frac{1}{3}+\frac{2}{6} \times \frac{4}{8}=\frac{7}{18}$ ；
记在模型二下，取到红球的概率为 $P_{2}$ ，同样分为取到＂黑红＂和＂红红＂两种情况，
则 $P_{2}=\frac{4}{6} \times \frac{1}{3}+\frac{2}{6} \times \frac{1}{6}=\frac{5}{18}$ ；
（2）（1）设第 $k(k<n)$ 次是第一次取到红球，第 $n$ 次是第二次取到红球的概率为 $P_{k}$ ，
则 $P_{k}=\left(\frac{2}{3}\right)^{k-1} \times \frac{1}{3} \times\left(\frac{5}{6}\right)^{n-k-1} \times \frac{1}{6}$ ，
则第 $n$ 次恰好抽到第二个红球的概率 $P$ 为 $P_{k}$ 中 $k$ 从 1 到 $n-1$ 取值累加求和，即
$P=\left(\frac{2}{3}\right)^{0} \times \frac{1}{3} \times\left(\frac{5}{6}\right)^{n-2} \times \frac{1}{6}+\left(\frac{2}{3}\right)^{1} \times \frac{1}{3} \times\left(\frac{5}{6}\right)^{n-3} \times \frac{1}{6}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2} \times \frac{1}{3} \times\left(\frac{5}{6}\right)^{n-4} \times \frac{1}{6}+\cdots+\left(\frac{2}{3}\right)^{n-2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{6}$,
利用等比数列求和公式即可得
$P=\frac{1}{3} \times \frac{1}{6} \times\left[\left(\frac{2}{3}\right)^{0} \times\left(\frac{5}{6}\right)^{n-2}+\left(\frac{2}{3}\right)^{1} \times\left(\frac{5}{6}\right)^{n-3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2} \times\left(\frac{5}{6}\right)^{n-4}+\cdots+\left(\frac{2}{3}\right)^{n-2} \times\left(\frac{5}{6}\right)^{0}\right]$
$=\frac{1}{3} \times \frac{1}{6} \times \frac{\left(\frac{5}{6}\right)^{n-2}\left[1-\left(\frac{2}{3} \times \frac{6}{5}\right)^{n-1}\right]}{1-\frac{2}{3} \times \frac{6}{5}}=\frac{5}{18} \times\left(\frac{5}{6}\right)^{n-2} \times\left[1-\left(\frac{4}{5}\right)^{n-1}\right]=\frac{1}{3} \times \frac{5}{6} \times\left(\frac{5}{6}\right)^{n-2} \times\left[1-\left(\frac{4}{5}\right)^{n-1}\right]$
$=\frac{1}{3} \times\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1} \times\left[1-\left(\frac{4}{5}\right)^{n-1}\right]=\frac{1}{3}\left[\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}-\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\right]$ ；
（2）由题可知，$X$ 的取值依次为 $2,3 \ldots, 9,10$ ，
当 $X=10$ 时，$P(X=10)=1-[P(X=2)+P(X=3)+\cdots+P(X=9)]$ ，
由数学期望的定义和（1）中的概率公式可知，
$E(X)=2 \times P(X=2)+3 \times P(X=3)+\cdots+9 \times P(X=9)+10 \times\{1-[P(X=2)+P(X=3)+\cdots+P$
$=10-[8 \times P(X=2)+7 \times P(X=3)+\cdots+1 \times P(X=9)]$
$=10-\frac{1}{3} \times\left[8 \times\left(\frac{5}{6}\right)^{1}+7 \times\left(\frac{5}{6}\right)^{2}+\cdots+1 \times\left(\frac{5}{6}\right)^{8}\right]+\frac{1}{3} \times\left[8 \times\left(\frac{2}{3}\right)^{1}+7 \times\left(\frac{2}{3}\right)^{2}+\cdots+1 \times\left(\frac{2}{3}\right)^{8}\right]$ ，
设 $a_{n}=\frac{1}{3} \times(-n+9) \times\left(\frac{5}{6}\right)^{n}, b_{n}=\frac{1}{3} \times(-n+9) \times\left(\frac{2}{3}\right)^{n}, n=1,2, \cdots, 8$ ，
由错位相减法可得 $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{8}=5+10 \times\left(\frac{5}{6}\right)^{9}, b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{8}=4+2 \times\left(\frac{2}{3}\right)^{9}$ ，
所以 $E(X)=10-\left[5+10 \times\left(\frac{5}{6}\right)^{9}\right]+\left[4+2 \times\left(\frac{2}{3}\right)^{9}\right]=9-10 \times\left(\frac{5}{6}\right)^{9}+2 \times\left(\frac{2}{3}\right)^{9}$ ．


Question: On the perimeter of a unit circle, 12 points are chosen uniformly and independently at random. Estimate the expected value of the area of the convex 12-gon formed by these points. Submit a positive number $E$ written in decimal. If the correct answer is $A$, you will receive round $\left(20 e^{-15|E-A|}\right)$ points.


Question:
Suppose that at fixed input prices of $\bar{w}$ a firm produces output with the differentiable and strictly convex cost function $c(q,h)$, where $q \geq 0$ is its output level (whose price is $p > 0$) and $h$ is the level of a negative externality generated by the firm. The externality affects a single consumer, whose derived utility function takes the form $\phi(h) + w$. The actions of the firm and consumer do not affect any market prices.

Derive the first-order condition for the firm's choice of $q$ and $h$.

p \leq \frac{\partial c(q^*,h^*)}{\partial q}, \text{ with equality if } q^* > 0

0 \leq \frac{\partial c(q^*,h^*)}{\partial h}, \text{ with equality if } h^* > 0


Question: Ethan initially writes some numbers on a blackboard, each of which is either a 3 or a 5 . He then repeatedly picks two numbers and replaces them with their sum, difference, product, or quotient (if the divisor is nonzero). Let $f(n)$ denote the minimum number of numbers Ethan must initially write for him to be able to eventually write the number $n$. For example, $f(2025) \leq 6$ because Ethan could start with $3,3,3,3,5$, and 5 on the board, then repeatedly multiply two numbers at a time to eventually get 2025 . Submit a comma-separated ordered 8-tuple of integers corresponding to the values of $f(164), f(187)$, $f(191), f(224), f(255), f(286), f(374)$, and $f(479)$, in that order, or an X for any value you wish to leave blank. For instance, if you think $f(164)=9$ and $f(224)=8$, you should submit " $9, \mathrm{X}, \mathrm{X}, 8, \mathrm{X}$, X, X, X". You will earn $\left\lfloor 0.6^W \cdot \frac{(C+1)^2}{4}\right\rfloor$ points, where $C$ is the number of correct answers you submit and $W$ is the number of incorrect (non-blank) answers.


Question: Let $A B C D$ be a rectangle with $B C=24$. Point $X$ lies inside the rectangle such that $\angle A X B=90^{\circ}$. Given that triangles $\triangle A X D$ and $\triangle B X C$ are both acute and have circumradii 13 and 15 , respectively, compute $A B$.


Question: 已知在平面直角坐标系中，$O$ 为坐标原点，定义函数 $f(x)=p \sin x+q \cos x$ 的＂和谐向量＂为非零向量 $\vec{\omega}=(p, q), \vec{\omega}=(p, q)$ 的＂和谐函数＂为 $f(x)=p \sin x+q \cos x$ ．记平面内所有向量的＂和谐函数＂构成的集合为 $T$ 。 （1）已知 $\theta \in \mathrm{R}, f(x)=2 \cos x+\cos (x+\theta)$ ，若函数 $f(x)$ 为集合 $T$ 中的元素，求其＂和谐向量＂模的取值范围； （2）已知 $|\vec{a}|=|\vec{b}|=2$ ，设 $\overrightarrow{O G}=\lambda \vec{a}+\mu \vec{b}(\lambda>0, \mu>0)$ ，且 $\overrightarrow{O G}$ 的＂和谐函数＂为 $\varphi(x)$ ，其最大值为 $S$ ，求 $\frac{\lambda+\mu}{S}$ ． （3）已知 $M(-2,3), N(2,6)$ ，设（1）中的＂和谐函数＂的模取得最小时的＂和谐函数＂为 $m(x)$ ， $g(x)=2 m\left(\frac{x}{2}\right)$ ，试问在 $y=g(x)$ 的图象上是否存在一点 $Q$ ，使得 $\overrightarrow{M Q} \cdot \overrightarrow{N Q}=0$ ，若存在，求出 $Q$ 点坐标；若不存在，说明理由．

【分析】（1）将 $f(x)$ 变成已知条件的形式，再根据＂和谐向量＂及向量的模的坐标公式计算即可得解；
（2）设 $\vec{a}=(2 \cos \alpha, 2 \sin \alpha), \vec{b}=(2 \cos \beta, 2 \sin \beta)$ ，再求出 $\overrightarrow{O G}$ ，再根据＂和谐函数＂的定义结合三角恒等变换化简函数 $\varphi(x)$ ，再根据三角函数的性质即可求出 S ，即可得解；
（3）结合（1）求出＂和谐向量＂，进而可得 $m(x), g(x)$ 的解析式，设出点 $Q$ 的坐标，再根据数量积的坐标公式，计算分析即可得解．

【详解】（1）$f(x)=2 \cos x+\cos (x+\theta)=2 \cos x+\cos x \cos \theta-\sin x \sin \theta$

$$
=-\sin \theta \sin x+(2+\cos \theta) \cos x,
$$

所以函数 $f(x)$ 的＂和谐向量＂向量 $\vec{\omega}=(-\sin \theta, 2+\cos \theta)$ ，

$$
|\vec{\omega}|=\sqrt{\sin ^2 \theta+(2+\cos \theta)^2}=\sqrt{4 \cos \theta+5},
$$

因为 $\cos \theta \in[-1,1]$ ，所以 $4 \cos \theta+5 \in[1,9]$ ，
所以 $|\vec{\omega}|$ 的取值范围为 $[1,3]$ ；
（2）设 $\vec{a}=(2 \cos \alpha, 2 \sin \alpha), \vec{b}=(2 \cos \beta, 2 \sin \beta)$ ，
则 $\overrightarrow{O G}=\lambda \vec{a}+\mu \vec{b}=(2(\lambda \cos \alpha+\mu \cos \beta), 2(\lambda \sin \alpha+\mu \sin \beta))$ ，
所以 $\varphi(x)=2(\lambda \cos \alpha+\mu \cos \beta) \sin x+2(\lambda \sin \alpha+\mu \sin \beta) \cos x$

$$
=2 \lambda(\cos \alpha \sin x+\sin \alpha \cos x)+2 \mu(\cos \beta \sin x+\sin \beta \cos x)
$$

$=2 \lambda \sin (x+\alpha)+2 \mu \sin (x+\beta)$
$\leq 2 \lambda+2 \mu$ ，
此时存在 $x_0$ ，满足 $\left\{\begin{array}{l}x_0+\alpha=\frac{\pi}{2}+2 k_1 \pi \\ x_0+\beta=\frac{\pi}{2}+2 k_2 \pi\end{array}\right.$ ，当且仅当 $x=x_0$ 时取等号，其中 $k_1, k_2 \in Z$ ，
所以 $\alpha-\beta=2\left(k_1-k_2\right) \pi$ ，即 $\vec{a}=\vec{b}$ ，所以 $\alpha=\beta+2 k \pi, k \in Z$ ，
所以 $\varphi(x)$ 的最大值 $S=2 \lambda+2 \mu$ ，
所以 $\frac{\lambda+\mu}{S}=\frac{1}{2}$ ；
（3）由（1）知，当 $\cos \theta=-1$ 时，$|\vec{\omega}|$ 最小，此时 $\vec{\omega}=(0,1)$ ，
所以 $m(x)=\cos x, g(x)=2 \cos \frac{x}{2}$ ，
设 $Q\left(x, 2 \cos \frac{x}{2}\right)$ ，令 $t=2 \cos \frac{x}{2}, t \in[-2,2]$ ，
则 $\overrightarrow{M Q}=(x+2, t-3), \overrightarrow{N Q}=(x-2, t-6)$ ，
因为 $\overrightarrow{M Q} \cdot \overrightarrow{N Q}=0$ ，
所以 $(x+2)(x-2)+(t-3)(t-6)=0$ ，即 $x^2+t^2-9 t+14=0$ ，

所以 $\left(t-\frac{9}{2}\right)^2=\frac{25}{4}-x^2(*)$ ，所以 $\left|t-\frac{9}{2}\right| \leq \frac{5}{2}$ ，即 $2 \leq t \leq 7$ ，
而 $t \in[-2,2]$ ，则 $t=2$ ，当且仅当 $x=0$ 时，等式 $(*)$ 成立，
所以在 $y=g(x)$ 的图象上存在一点 $Q(0,2)$ ，使得 $\overrightarrow{M Q} \cdot \overrightarrow{N Q}=0$ ．


Question: Regular hexagon $A B C D E F$ has side length 2. Circle $\omega$ lies inside the hexagon and is tangent to segments $\overline{A B}$ and $\overline{A F}$. There exist two perpendicular lines tangent to $\omega$ that pass through $C$ and $E$, respectively. Given that these two lines do not intersect on line $A D$, compute the radius of $\omega$.


Question: 设 $a, b$ 为非负整数，$m$ 为正整数，若 $a$ 和 $b$ 被 $m$ 除得的余数相同，则称 $a$ 和 $b$ 对模 $m$同余，记为 $a \equiv b(\bmod m)$ ． （1）求证： $2^{33}+1 \equiv 65(\bmod 7)$ ； （2）若 $p$ 是素数，$n$ 为不能被 $p$ 整除的正整数，则 $n^{p-1} \equiv 1(\bmod p)$ ，这个定理称之为费马小定理．应用费马小定理解决下列问题： （1）证明：对于任意整数 $x$ 都有 $x^{13}-x \equiv 0(\bmod 546)$ ； （2）求方程 $x^9+x^7-x^3-x \equiv 0(\bmod 35)$ 的正整数解的个数．


Question:
考虑次数有限的域扩张 $K/F$，如果存在 $r \colon F \to \mathbb{C}$ 为域的嵌入，
	则 $r$ 可以延拓为 $K \to \mathbb{C}$ 的域嵌入，求满足以上要求的不同的延拓个数.

设 \(K/F\) 是有限域扩张，且存在域嵌入
	\[
	r: F \hookrightarrow \mathbb{C}.
	\]
	由于 \(F\) 的特征为 \(0\)，\(K/F\) 必为可分扩张。由原始元定理，存在 \(\alpha\in K\) 使
	\[
	K \;=\; F(\alpha),
	\]
	并且
	\[
	n=[K:F]=\deg m_{\alpha,F}(x),
	\]
	其中 \(m_{\alpha,F}(x)\in F[x]\) 是 \(\alpha\) 的最小多项式。由于扩张可分，多项式 \(m_{\alpha,F}(x)\) 在 \(\mathbb{C}\) 中分解为
	\[
	m_{\alpha,F}(x)
	=\prod_{i=1}^n \bigl(x - \alpha_i\bigr),
	\]
	且 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 互不相同。

	对于每个根 \(\alpha_i\)，定义映射
	\[
	R_i: K=F(\alpha)\ \longrightarrow\ \mathbb{C}
	\quad\text{由}\quad
	\begin{cases}
		R_i|_F = r,\\
		R_i(\alpha)=\alpha_i.
	\end{cases}
	\]
	显然 \(R_i\) 是满足 \(R_i|_F=r\) 的域嵌入。不同的根 \(\alpha_i\) 给出不同的延拓 \(R_i\)，并且一旦固定了 \(r\) 和 \(\alpha\) 的像，延拓唯一存在。

	因此，能够把 \(r\) 延拓到 \(K\) 上的不同域嵌入个数为
	\[
	n = [K:F]
	\]


Question: Point $P$ is inside triangle $\triangle A B C$ such that $\angle A B P=\angle A C P$. Given that $A B=6, A C=8, B C=7$, and $\frac{B P}{P C}=\frac{1}{2}$, compute $\frac{[B P C]}{[A B C]}$. (Here, $[X Y Z]$ denotes the area of $\triangle X Y Z$ ).


Question: 某计算机房的一台计算机经常出故障，研究者每隔15分钟观察一次计算机运行状态，收集了24小时的数据 (共作97次观察) .用1表示正常状态，用0表示不正常状态，所得的数据序列如下： 11011011010111110111101111111100111111100111 已知该计算机在某一时段(15分钟)的状态为0，问此条件下从此时段起，该计算机能连续工作3刻钟的条件概率为多少？


Question: 设 $S: r = (x, y, h(x, y))$ 为三维欧氏空间中的光滑曲面，$h(x, y)$ 是关于 $x, y$ 的光滑函数. 1、求 $S$ 的平均曲率的表达式. 2、设 $S$ 为极小曲面，当 $h(x, y) = f(x) + g(y)$ 时，求 $h(x, y)$ 的表达式，其中函数 $f, g$ 均为光滑函数.",


Question: 将一个 $2023 \times 2023$ 方格表的每个格黑白染色，满足每个 $2 \times 2$ 小正方形中均至少有一个黑格，且每个黑格均在一个 $2 \times 2$ 小黑色正方形中，记 $a_i$ 为每行中黑格的个数，$b_i$ 为每列中黑格的个数，求 $\sum_{i=1}^{2023}\left(a_i^2-b_i^2\right)$ 的最大值．


Question: Compute the 100th smallest positive multiple of 7 whose digits in base 10 are all strictly less than 3.


Question: 设抛物线 $\Gamma: y^2=2 p x, p$ 是大于 0 的常数抛物线 $\Gamma$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 的垂直于 $x$ 轴的直线交抛物线 $\Gamma$ 于 $A, B$ 两点（点 A 在 $x$ 轴上方），直线 $l: y=k x(k>0)$ 与直线 $A B$ 相交于点 $D$ （异于 $A, B$ ），与抛物线 $\Gamma$ 相交于点 $E$（异于坐标原点 $O$ ），直线 $E F$ 交抛物线 $\Gamma$ 于另一点 $C$ ，直线 $C D$ 与 $x$ 轴相交于点 $G$ ． （1）若 $F$ 是 $\triangle O C D$ 的重心，求 $k$ 的值； （2）设直线 $l$ 与直线 $B C$ 相交于点 $P, M, N$ 分别为线段 $B E, P F$ 的中点．设 $\triangle P M G$ 的面积为 $S_1, \triangle O M F$ 的面积为 $S_2$ ，若 $S_1 \leq \frac{3}{2} S_2$ ，求 $k$ 的取值范围．

## 【详解】

### （1）

由题意可得
$F\left(\frac{p}{2}, 0\right), A\left(\frac{p}{2}, p\right), B\left(\frac{p}{2},-p\right), D\left(\frac{p}{2}, \frac{p k}{2}\right)$

联立 $l: y=k x(k>0)$ 与 $\Gamma: y^2=2 p x$，可得 $k^2 x^2=2 p x$，由于 $x \neq 0$，
故 $x=\frac{2 p}{k^2}, y=\frac{2 p}{k}$，故 $E\left(\frac{2 p}{k^2}, \frac{2 p}{k}\right)$

则 $E F: y=\frac{\frac{2 p}{k}}{\frac{2 p}{k^2}-\frac{1}{2} p}\left(x-\frac{p}{2}\right)$，化简可得 $E F: y=\frac{4 k}{4-k^2}\left(x-\frac{p}{2}\right)$

联立 $E F: y=\frac{4 k}{4-k^2}\left(x-\frac{p}{2}\right)$ 与 $\Gamma: y^2=2 p x$，可得 $y^2-\frac{p\left(4-k^2\right)}{2 k} y-p^2=0$

故 $y_E y_C=-p^2$，进而可得 $y_C=\frac{-p^2}{y_E}=-\frac{1}{2} k p$，故 $C\left(\frac{k^2 p}{8},-\frac{1}{2} k p\right)$

由于 $\triangle O C D$ 的重心为 $F$，故 $\frac{\frac{k^2 p}{8}+\frac{p}{2}+0}{3}=\frac{p}{2}$，化简得 $k^2=8$
$\because k>0, \quad \therefore k=2 \sqrt{2}$


Question: Let $a, b$, and $c$ be real numbers satisfying the system of equations $$ \begin{aligned} & a \sqrt{1+b^2}+b \sqrt{1+a^2}=\frac{3}{4} \\ & b \sqrt{1+c^2}+c \sqrt{1+b^2}=\frac{5}{12} \\ & c \sqrt{1+a^2}+a \sqrt{1+c^2}=\frac{21}{20} \end{aligned} $$ Compute $a$.


Question: 已知圆 $O: x^2+y^2=4, B(-1,0), C(1,0)$ 点 $M$ 在圆 $O$ 上，延长 $C M$ 到 A ，使 $|C M|=|M A|$ ，点 $P$ 在线段 $A B$ 上，满足 $(\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P C}) \cdot \overrightarrow{A C}=0$ ． （1）求点 $P$ 的轨迹 $E$ 的方程； （2）设 $Q$ 点在直线 $x=1$ 上运动，$D_1(-2,0), D_2(2,0)$ ．直线 $Q D_1$ 与 $Q D_2$ 与轨迹 $E$ 分别交于 $G, H$两点，求 ${ }_{\triangle} O G H$ 面积的最大值．

【分析】（1）由题意可得 $|\overrightarrow{P A}|=|\overrightarrow{P C}|$ ，再根据 $M$ 为 $A C$ 的中点，可得 $|O M|=\frac{1}{2}|A B|$ ，再根据 $|P B|+|P C|=|P B|+|P A|=|A B|$ ，结合椭圆的定义即可得解；
（2）设 $Q\left(1, y_0\right), G\left(x_1, y_1\right), H\left(x_2, y_2\right)$ ，根据 $Q, G, D_1$ 三点共线，$Q, H, D_2$ 三点共线，求出 $G, H$两点坐标的关系，设 $G H$ 的方程为 $t y=x+m$ ，联立方程，利用韦达定理求得 $y_1+y_2, y_1 y_2$ ，再根据弦长公式及点到直线的距离公式分析即可得解．

【详解】（1）因为 $(\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P C}) \cdot \overrightarrow{A C}=0$ ，所以 $(\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P C}) \cdot(\overrightarrow{P C}-\overrightarrow{P A})=0$ ，
所以 $\overrightarrow{P A}^2=\overrightarrow{P C}^2$ ，所以 $|\overrightarrow{P A}|=|\overrightarrow{P C}|$ ，
因为 $|C M|=|M A|$ ，所以 $M$ 为 $A C$ 的中点，
又因 $O$ 为 $B C$ 的中点，所以 $|O M|=\frac{1}{2}|A B|=2$ ，所以 $|A B|=4$ ，
则 $|P B|+|P C|=|P B|+|P A|=|A B|=4>|B C|$ ，
所以点 $P$ 的轨迹是以 $B, C$ 为焦点的椭圆，而 $2^2-1^2=3$ ，
所以点 $P$ 的轨迹 $E$ 的方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ ；
（2）由（1）得 $D_1(-2,0), D_2(2,0)$ 是椭圆 $E$ 的左右顶点，

设 $Q\left(1, y_0\right), G\left(x_1, y_1\right), H\left(x_2, y_2\right)$ ，
由 $Q, G, D_1$ 三点共线，得 $\overrightarrow{D_1 Q} / / \overrightarrow{D_1 G}$ ，而 $\overrightarrow{D_1 Q}=\left(3, y_0\right), \overrightarrow{D_1 G}=\left(x_1+2, y_1\right)$ ，
所以 $3 y_1=y_0\left(x_1+2\right)$ ，所以 $y_0=\frac{3 y_1}{x_1+2}$ ，
由 $Q, H, D_2$ 三点共线，得 $\overrightarrow{D_2 Q} / / \overrightarrow{D_2 H}$ ，而 $\overrightarrow{D_1 Q}=\left(-1, y_0\right), \overrightarrow{D_1 G}=\left(x_2-2, y_2\right)$ ，
所以 $-y_1=y_0\left(x_1-2\right)$ ，所以 $y_0=-\frac{y_2}{x_2-2}$ ，
所以 $\frac{3 y_1}{x_1+2}=-\frac{y_2}{x_2-2}$ ，即 $3 y_1\left(x_2-2\right)+y_2\left(x_1+2\right)=0$ ，
设 $G H$ 的方程为 $t y=x+m$ ，
联立 $\left\{\begin{array}{l}t y=x+m \\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$ ，得 $\left(3 t^2+4\right) y^2-6 t m y+3 m^2-12=0$ ，
则 $\Delta=36 t^2 m^2-4\left(3 t^2+4\right)\left(3 m^2-12\right)=48\left(3 t^2-m^2+4\right)>0$ ，

$$
y_1+y_2=\frac{6 t m}{3 t^2+4}, y_1 y_2=\frac{3 m^2-12}{3 t^2+4},
$$

所以 $2 t y_1 y_2=\frac{m^2-4}{m}\left(y_1+y_2\right)$ ，
由 $3 y_1\left(x_2-2\right)+y_2\left(x_1+2\right)=0$ ，

得 $3 y_1\left(t y_2-m-2\right)+y_2\left(t y_1-m+2\right)=0$ ，

即 $4 t y_1 y_2-(m-2) y_2-3(m+2) y_1=0$ ，

所以 $\frac{2\left(m^2-4\right)}{m}\left(y_1+y_2\right)-(m-2) y_2-3(m+2) y_1=0$ ，

所以 $(m+4)\left[(m-2) y_2-(m+2) y_1\right]=0$ 恒成立，所以 $m=-4$ ，
则 $\Delta=48\left(3 t^2-12\right)>0$ ，所以 $t^2>4$ ，
则 $y_1+y_2=-\frac{24 t}{3 t^2+4}, y_1 y_2=\frac{36}{3 t^2+4}, G H$ 的方程为 $t y=x-4$ ，
所以 $|G H|=\sqrt{1+t^2} \cdot \sqrt{\left(y_1+y_2\right)^2-4 y_1 y_2}=\sqrt{1+t^2} \cdot \frac{12 \sqrt{t^2-4}}{3 t^2+4}$ ，
原点，$O$ 到直线 $G H$ 的距离 $d=\frac{4}{\sqrt{1+t^2}}$ ，
则 $S_{-O G H}=\frac{1}{2}|G H| d=\frac{24 \sqrt{t^2-4}}{3 t^2+4}=24 \cdot \frac{\sqrt{t^2-4}}{3\left(t^2-4\right)+16}=\frac{24}{\frac{3}{\sqrt{t^2-4}}+16 \sqrt{t^2-4}}$
$\leq \frac{24}{2 \sqrt{\frac{3}{\sqrt{t^2-4}} \cdot 16 \sqrt{t^2-4}}}=\frac{24}{8 \sqrt{3}}=\sqrt{3}$ ，
当且仅当 $\frac{3}{\sqrt{t^2-4}}=16 \sqrt{t^2-4}$ ，即 $t= \pm \frac{2 \sqrt{21}}{3}$ 时取等号，
所以 $\triangle O G H$ 面积的最大值为 $\sqrt{3}$ ．


Question: Compute the largest possible radius of a circle contained in the region defined by $|x+|y|| \leq 1$ in the coordinate plane.


Question: Let $P$ be a point inside triangle $ABC$. Find the maximum of $\cos \frac{\angle ABC}{2} \sin \frac{\angle APC}{2} + \cos \frac{\angle BCA}{2} \sin \frac{\angle BPA}{2} + \cos \frac{\angle CAB}{2} \sin \frac{\angle CPB}{2} $

 First note that the sine function is concave on $(0,\pi)$, and therefore, by Jensen’s inequality, for any $\alpha$, $\beta$, $\gamma \in (0,\pi)$ we have

$\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma \leq 3 \sin \left( \frac{\alpha + \beta + \gamma}{3} \right),$

with equality if and only if $\alpha = \beta = \gamma$.

Let $a = \angle CAB, b = \angle ABC, c = \angle BCA, x = \angle CPB, y = \angle APC$, and $z = \angle BPA$. We have $a + b + c = \pi, x + y + z = 2\pi$, and $a, b, c, x, y, z \in (0, \pi)$. Applying first the product-to-sum formula and then (*), we obtain

$\cos \frac{b}{2} \sin \frac{y}{2} + \cos \frac{c}{2} \sin \frac{z}{2} + \cos \frac{a}{2} \sin \frac{x}{2}$

$= \frac{1}{2} \left( \sin \frac{y + b}{2} + \sin \frac{y - b}{2} + \sin \frac{z + c}{2} + \sin \frac{z - c}{2} + \sin \frac{x + a}{2} + \sin \frac{x - a}{2} \right)$

$\leq \frac{3}{2} \left( \sin \frac{x + y + z + a + b + c}{6} + \sin \frac{x + y + z - a - b - c}{6} \right)$

$= \frac{3}{2} \left( \sin \frac{\pi}{2} + \sin \frac{\pi}{6} \right) = \frac{9}{4}.$

Equality holds if and only if $(x + a)/2 = (y + b)/2 = (z + c)/2$ and $(x - a)/2 = (y - b)/2 = (z - c)/2$. Adding and subtracting these equations, we see that this is equivalent to $a = b = c$ and $x = y = z$. This means that $ABC$ is equilateral and $P$ is its Fermat point, and thus $P$ is its center as well.


Question: 令$p$ 为奇素数, $m \geq 0$ 和 $N \geq 1$ 为整数。设 $\Lambda$ 为一秩为 $2m + 1$ 的自由 $\mathbb{Z}/p^N\mathbb{Z}$-模，并设 \[ (,): \Lambda \times \Lambda \to \mathbb{Z}/p^N\mathbb{Z} \] 为一完美对称 $\mathbb{Z}/p^N\mathbb{Z}$-双线性型。这里，“完美”指的是诱导映射 \[ \Lambda \to \text{Hom}_{\mathbb{Z}/p^N\mathbb{Z}}(\Lambda, \mathbb{Z}/p^N\mathbb{Z}), \quad x \mapsto (x, \cdot) \] 为同构。试求集合 \[ \{ x \in \Lambda \mid (x, x) = 0 \} \] 的元素个数，表达为 $p, m, N$ 的函数。

对每个整数 $0 \leq n \leq N$，设 $$ \Lambda(n) := \{ x \in \Lambda \mid (x, x) \in p^n \mathbb{Z}/p^N \mathbb{Z} \}, $$ 它在 $p^n \Lambda$ 的迁移下是稳定的。设 $C(n) := |\Lambda(n)|$。我们的目标是计算 $C(N)$。$C(0) = |\Lambda| = p^{(2m+1)N}$ 是平凡的。 我们首先算一下 $C(1)$。商空间 $\Lambda/p\Lambda$ 关于 $\mathbb{F}_p$-双线性形式 $(, ) \mod p$ 是 $\mathbb{F}_p$ 上的一个 $2m+1$ 维非退化的二次空间。显然一个元素 $x \in \Lambda/p\Lambda$ 属于 $\Lambda(1)/p\Lambda$ 当且仅当 $x$ 的长度为 0。 我们断言对每个 $2m+1$ 维 $\mathbb{F}_p$ 系数的非退化二次空间 $V$，长度为 0 的元素个数是 $p^{2m}$。下面对 $m$ 作归纳。$m=0$ 时是平凡的；$m>0$ 时，取 $v_1, v_2 \in V$ 使得 $(v_1, v_2) = 1$，$(v_2, v_2) = -1$，且 $(v_1, v_2) = 0$。设 $V'$ 是 $\{v_1, v_2\}$ 在 $V$ 中的正交补空间，它是一个 $2m-1$ 维非退化的二次空间。关于该正交分解，每个 $x \in V$ 可以写成 $x = x_1 v_1 + x_2 v_2 + x'$，其中 $x_1, x_2 \in \mathbb{F}_p$，$x' \in V'$。于是 $(x, x) = x_1^2 - x_2^2 + (x', x')$。为了计算满足 $(x, x) = 0$ 的元素个数，考虑以下两种情况：若 $(x', x') = 0$，则满足 $x_1^2 - x_2^2 = 0$ 的 $(x_1, x_2) \in \mathbb{F}_p^2$ 的个数是 $2p-1$；若 $(x', x') \neq 0$，则满足 $x_1^2 - x_2^2 = -(x', x') \neq 0$ 的 $(x_1, x_2) \in \mathbb{F}_p^2$ 的个数是 $p-1$（因 $p \neq 2$）。从而由归纳假设知，长度为 0 的 $x$ 的元素个数共有 $p^{2m-2}(2p-1) + (p^{2m-1} - p^{2m-2})(p-1) = p^{2m}$ 个。 总之，$C(1) = p^{2m} p^{(2m+1)(N-1)}$。 一般地，对 $n \geq 1$，设 $\Lambda(n)' := \Lambda(n) \setminus p\Lambda$ 以及 $\Lambda(n)'' := \Lambda(n) \cap p\Lambda$，定义 $C(n)'$ 与 $C(n)''$ 分别为集合 $\Lambda(n)'$ 与 $\Lambda(n)''$ 的元素个数。我们断言 1. $n \geq 2$ 时，$\Lambda(n-2)/p^{n-1}\Lambda \to \Lambda(n)''/p^n\Lambda$ 的乘 $p$ 映射是双射。 2. $n \geq 2$ 时，由包含映射 $\Lambda(n)' \to \Lambda(n-1)'$ 诱导的映射 $\Lambda(n)'/p^n\Lambda \to \Lambda(n-1)'/p^{n-1}\Lambda$ 是一个 $p^{2m}$-对-1 的映射。 这两个断言的证明稍后给出，我们首先由此计算 $C(n)$。由第一个断言可知 $C(n)'' = p^{-(2m+1)} C(n-2)$，$n \geq 2$；而由第二个断言知 $C(n)' = p^{-1} C(n-1)'$，$n \geq 2$。对于后者，我们有 $ C(n)' = p^{-(n-1)} C(1)' = p^{-(n-1)} (C(1) - |p\Lambda|) = p^{(2m+1)(N-1)-(n-1)} (p^{2m} - 1). $ 结合前者可得以下的递推公式 $ C(n) = C(n)' + C(n)'' = p^{-(2m+1)} C(n-2) + p^{(2m+1)(N-1)-(n-1)} (p^{2m} - 1). $ 进一步容易得到 $ C(N) = p^{(2m+1)r + 2m(N-2r)} + \frac{p^{(2m+1)r} - 1}{p^{(2m+1)} - 1} p^{(2m+1)r-1 + 2m(N-2r)} (p^{2m} - 1), $ 其中 $r := \lfloor N/2 \rfloor$。 接下来证明以上的两个断言。 前者可以通过以下的观察得到，一个元素 $x \in \Lambda$ 属于 $\Lambda(n-2)$ 当且仅当 $px$ 属于 $\Lambda(n)$。 对于后者，取定 $y \in \Lambda(n-1)'/p^{n-1}\Lambda$。其原像由以下元素组成：$y + p^{n-1} x$ 其中 $x \in \Lambda/p\Lambda$ 且 $ (y, y) + 2p^{n-1} (x, y) + p^{2n-2} (x, x) \in p^n \mathbb{Z}/p^N \mathbb{Z}. $ 因 $n \geq 2$ 以及 $(y, y) \in p^{n-1} \mathbb{Z}/p^N \mathbb{Z}$，上式等价于 $ p^{1-n} (y, y) + 2 (x, y) \equiv 0 \mod p. $ 由于 $p \neq 2$，$y \notin p\Lambda/p^{n-1}\Lambda$，以及 $\Lambda/p\Lambda$ 是一个非退化的二次空间，上式是一个 $\Lambda/p\Lambda$ 上关于 $x$ 的一次多项式，从而它的解集的元素个数是 $p^{2m}$。


Question: 设A，B，C，D，E是空间中五个两两不同的点，任三点不共线。若A，B，C，D是定点，E是动点，且\(BC = CD = DB = 1\)，\(AB = AC = AD = l\)。已知\(EA + EB + EC + ED\)存在最小值，求l的取值范围。

引理证明在三棱柱\(ABC - A_{1}B_{1}C_{1}\)中，\(\triangle ABC\)是边长为2a的等边三角形，三棱柱的高为h，P是平面ABC内的一个动点。步骤一：构造辅助线与转化距离
设O为\(\triangle ABC\)的中心，过P作平行于AC的直线l，记\(C'\)为C关于l的对称点，作\(C'C_{2}\perp\)平面ABC，使得\(\vert C'C_{2}\vert = h\)，且\(C_{2}\notin\)平面\(A_{1}B_{1}C_{1}\)，作\(BQ\perp l\)于Q。
根据对称性质可得\(\vert A_{1}P\vert+\vert B_{1}P\vert+\vert C_{1}P\vert=\vert A_{1}P\vert+\vert B_{1}P\vert+\vert C_{2}P\vert\geq\vert A_{2}C_{2}\vert+\vert B_{1}Q\vert = 2\vert A_{1}Q\vert+\vert B_{1}Q\vert\)，当且仅当\(A_{1}\)，P，\(C_{2}\)三点共线且\(P = Q\)时等号成立。步骤二：建立坐标计算距离函数
再设\(A(-a,0,0)\)，\(B(0,\sqrt{3}a,0)\)，\(C(a,0,0)\)，则\(B_{1}(0,\sqrt{3}a,h)\)，记\(Q(0,q,0)\) 。
\(2\vert A_{1}Q\vert+\vert B_{1}Q\vert = 2\sqrt{q^{2}+h^{2}+a^{2}}+\sqrt{h^{2}+(\sqrt{3}a - q)^{2}}=f(q)\) 。
对\(f(q)\)求导得\(f'(q)=\frac{2q}{\sqrt{q^{2}+h^{2}+a^{2}}}+\frac{q - \sqrt{3}a}{\sqrt{h^{2}+(\sqrt{3}a - q)^{2}}}\) 。步骤三：分析函数单调性求最值
由\(h\neq0\)知\(f'(q)\)对每一点q都是存在的。解不等式\(f'(q)\geq0\)得\(q\geq\frac{\sqrt{3}}{3}a\) 。
故\(f(q)\)在\((-\infty,\frac{\sqrt{3}}{3}a)\)严格递减，在\((\frac{\sqrt{3}}{3}a,+\infty)\)严格递增，因此\(f(q)\geq f(\frac{\sqrt{3}}{3}a)=3\sqrt{h^{2}+\frac{4a^{2}}{3}}\) ，引理得证。原问题 (3) 解答已知\(BC = CD = DB = 1\)，\(AB = AC = AD = l\)，显然\(l\geq\frac{\sqrt{3}}{3}\) 。
不妨设\(E\notin\)平面BCD（否则可视为极限情况），过E作平面BCD的平行平面\(\alpha\)，A在\(\alpha\)的投影为F。由引理以及\(\vert ED\vert\geq\vert FD\vert\)得\(\vert EA\vert+\vert EB\vert+\vert EC\vert+\vert ED\vert\geq\vert FA\vert+\vert FB\vert+\vert FC\vert+\vert FD\vert\) 。
设\(B(-\frac{1}{2},0,0)\)，\(C(\frac{1}{2},0,0)\)，\(D(0,\frac{\sqrt{3}}{2},0)\)，则\(A(0,\frac{\sqrt{3}}{6},\sqrt{l^{2}-\frac{1}{3}})\) ，记\(F(0,\frac{\sqrt{3}}{6},h)\) ，则\(\vert FA\vert+\vert FB\vert+\vert FC\vert+\vert FD\vert = 3\sqrt{h^{2}+\frac{1}{3}}+\vert\sqrt{l^{2}-\frac{1}{3}}-h\vert = g(h)\) 。分析\(g(h)\)单调性（情况一）：
易知\(g(h)\)在\((-\infty,\min\{\sqrt{l^{2}-\frac{1}{3}},\frac{\sqrt{6}}{12}\})\)单调递减，在\((\min\{\sqrt{l^{2}-\frac{1}{3}},\frac{\sqrt{6}}{12}\},+\infty)\)单调递增。
当\(\frac{\sqrt{3}}{3}\leq l\leq\frac{\sqrt{6}}{4}\)时，\(\sqrt{l^{2}-\frac{1}{3}}\leq\frac{\sqrt{6}}{12}\) ，此时\(g(h)\)在\((-\infty,\sqrt{l^{2}-\frac{1}{3}})\)严格递减，在\((\sqrt{l^{2}-\frac{1}{3}},+\infty)\)严格递增，因为任意两点不重合，上式取等号当且仅当F与A重合，矛盾，所以此时\(g(h)\)无最小值。分析\(g(h)\)单调性（情况二）：
当\(l > \frac{\sqrt{6}}{4}\)时，\(\sqrt{l^{2}-\frac{1}{3}}>\frac{\sqrt{6}}{12}\) ，此时\(g(h)\)在\((-\infty,\frac{\sqrt{6}}{12})\)严格递减，在\((\frac{\sqrt{6}}{12},+\infty)\)严格递增，故\(g(h)\geq g(\frac{\sqrt{6}}{12})=\frac{2\sqrt{6}}{3}+\sqrt{l^{2}-\frac{1}{3}}\) 。
等号成立当且仅当\(E = F\)且FBCD是正四面体，此时F严格位于正三棱锥\(A - BCD\)的内部，因此\(\vert EA\vert+\vert EB\vert+\vert EC\vert+\vert ED\vert\)有最小值\(\frac{2\sqrt{6}}{3}+\sqrt{l^{2}-\frac{1}{3}}\) 。综上，l的取值范围是\((\frac{\sqrt{6}}{4},+\infty)\) 。


Question: 存在唯一的正实数三元组 $(a,b,c)$ 满足方程 $2\left(a^2+1\right)=3\left(b^2+1\right)=4\left(c^2+1\right) \quad \text{和} \quad a b+b c+c a=1$。计算 $a+b+c$ 。

第一步：设等式等于同一常数并表示变量
设 $2\left(a^2+1\right)=3\left(b^2+1\right)=4\left(c^2+1\right)=k$ ，其中 $k>4$（保证根号内为正）。

由此可得：$\left\{\begin{array}{l}a^2=\frac{k}{2}-1 \Longrightarrow a=\sqrt{\frac{k}{2}-1}, \\ b^2=\frac{k}{3}-1 \Longrightarrow b=\sqrt{\frac{k}{3}-1}, \\ c^2=\frac{k}{4}-1 \Longrightarrow c=\sqrt{\frac{k}{4}-1} .\end{array}\right.$

第二步：计算平方和与目标平方
利用 $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(a b+b c+c a)$ ，已知 $a b+b c+c a=1$ ，先求 $a^2+b^2+c^2$ ：

$$
a^2+b^2+c^2=\left(\frac{k}{2}-1\right)+\left(\frac{k}{3}-1\right)+\left(\frac{k}{4}-1\right)=\frac{13 k}{12}-3 .
$$

代入得：$(a+b+c)^2=\left(\frac{13 k}{12}-3\right)+2 \times 1=\frac{13 k}{12}-1$ ．

第三步：代入乘积和条件解方程
将 $a, b, c$ 代入 $a b+b c+c a=1$ ：

$$
\sqrt{\left(\frac{k}{2}-1\right)\left(\frac{k}{3}-1\right)}+\sqrt{\left(\frac{k}{3}-1\right)\left(\frac{k}{4}-1\right)}+\sqrt{\left(\frac{k}{2}-1\right)\left(\frac{k}{4}-1\right)}=1 .
$$

为简化计算，令 $k=12 m$（消去分母），则：$\left\{\begin{array}{l}a=\sqrt{6 m-1}, \\ b=\sqrt{4 m-1}, \\ c=\sqrt{3 m-1},\end{array}\right.$

代入得：$\sqrt{(6 m-1)(4 m-1)}+\sqrt{(4 m-1)(3 m-1)}+\sqrt{(6 m-1)(3 m-1)}=1$ ．

通过尝试或最终验证，当 $k=\frac{96}{23}$ 时（对应 $m=\frac{8}{23}$ ），满足上述方程：

第四步：验证并计算结果
当 $k=\frac{96}{23}$ 时：$\left\{\begin{array}{l}a=\sqrt{\frac{96}{46}-1}=\sqrt{\frac{25}{23}}=\frac{5}{\sqrt{23}}, \\ b=\sqrt{\frac{96}{69}-1}=\sqrt{\frac{9}{23}}=\frac{3}{\sqrt{23}}, \\ c=\sqrt{\frac{96}{92}-1}=\sqrt{\frac{1}{23}}=\frac{1}{\sqrt{23}} .\end{array}\right.$

验证 $a b+b c+c a: \frac{5}{\sqrt{23}} \cdot \frac{3}{\sqrt{23}}+\frac{3}{\sqrt{23}} \cdot \frac{1}{\sqrt{23}}+\frac{5}{\sqrt{23}} \cdot \frac{1}{\sqrt{23}}=\frac{15+3+5}{23}=1$ ，

符合条件。最后计算 $a+b+c: a+b+c=\frac{5}{\sqrt{23}}+\frac{3}{\sqrt{23}}+\frac{1}{\sqrt{23}}=\frac{9}{\sqrt{23}}$ ．


Question:
试用两个双层位势化混合问题

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{\partial u}{\partial t}=a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, t>0, x>0, t+1>x \\
\left.u\right|_{x=0}=g_1(t),\left.u\right|_{x=t+1}=g_2(t) \\
\left.u\right|_{t=0}=0
\end{array}\right.
$$

为积分方程组．

Differential Equations and Dynamical Systems


Question:
求解下列积分方程的解核，求相应齐次方程的固有值和固有函数，当 $\lambda$ 为固有值时，列出非齐次方程有解的相容性条件，
$\varphi(x)=\lambda \int_0^1(x+\xi) \varphi(\xi) \mathrm{d} \xi+f(x)$

解核为 $\Gamma(x, \xi, \lambda) =\frac{1}{\Delta(\lambda)}\left(\left(1-\frac{\lambda}{2}\right) x+\frac{\lambda}{3} x \xi+\lambda+\left(1-\frac{\lambda}{2}\right) \xi\right)$，其中 $\Delta(\lambda) =1-\lambda-\frac{\lambda^2}{12}$

固有值为 $\lambda_1=-6+4 \sqrt{3}, \lambda_2=-6-4 \sqrt{3}$；相应的固有函数为 $\varphi_1(x)=\sqrt{3} x+1, \varphi_2(x)=-\sqrt{3} x+1$

当 $\lambda=\lambda_1$ 时，相容性条件为 $\int_0^1 f(x)(\sqrt{3} x+1) \mathrm{d} x=0$；当 $\lambda=\lambda_2$ 时，相容性条件为 $\int_0^1 f(x)(-\sqrt{3} x+1) \mathrm{d} x=0$

Differential Equations and Dynamical Systems


Question: \text { 求方程 } x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x=\sqrt{x^2+y^2} \mathrm{~d} x \text { 的通解．}

解 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{y+\sqrt{x^2+y^2}}{x}=\frac{y}{x} \pm \sqrt{1+\left(\frac{y}{x}\right)^2} \quad(x>0$ 根式取正，$x<0$ 根式取负 $)$
当 $x>0$ 时，令 $u=\frac{y}{x}$ ．方程化为

$$
u+x u^{\prime}=u+\sqrt{1+u^2} \text {, 即 } \frac{\mathrm{d} u}{\sqrt{1+u^2}}=\frac{\mathrm{d} x}{x}
$$

积分得通解

$$
\ln \left(u+\sqrt{1+u^2}\right)=\ln |x|+\ln |C| \text {, 即 } \frac{u+\sqrt{1+u^2}}{x}=C
$$

代回原变量为

$$
y+\sqrt{x^2+y^2}=C x^2
$$

当 $x<0$ 时，类似可得通解 $-y+\sqrt{x^2+y^2}=C$ ．

Differential Equations and Dynamical Systems


Question: Notice that because the graph is undirected, finding a path from $S$ to $G$ is equivalent to finding a path from $G$ to $S$, since reversing a path gives us a path from the other direction of the same length. This fact inspired bidirectional search. As the name implies, bidirectional search consists of two simultaneous searches which both use the same algorithm; one from $S$ towards $G$, and another from $G$ towards $S$. When these searches meet in the middle, they can construct a path from $S$ to $G$. More concretely, in bidirectional search: • We start Search 1 from $S$ and Search 2 from $G$. • The searches take turns popping nodes off of their separate fringes. First Search 1 expands a node, then Search 2 expands a node, then Search 1 again, etc. • This continues until one of the searches expands some node $X$ which the other search has also expanded. • At that point, Search 1 knows a path from $S$ to $X$, and Search 2 knows a path from $G$ to $X$, which provides us with a path from $X$ to $G$. We concatenate those two paths and return our path from $S$ to $G$. Repeat part (a) with the bidirectional versions of the algorithms from before. Give the tightest possible bounds, using big $\mathcal{O}$ notation, on both the absolute best and worst - case number of node expansions by the bidirectional search algorithm. Your bound should still be a function of variables from the set $\{N, D, L\}$. Bidirectional BFS Tree Search Worst case:

Best case: $\mathcal{O}(D^{\frac{L}{2}-1})$. Bidirectional Search improves BFS. Each search will expand half of the optimal path to the goal before meeting in the middle, at some node at depth $L/2$ for both searches. In the best case, this node is the first one expanded at that depth for both searches, so the number of node expansions is $\mathcal{O}(D^{\frac{L}{2}-1})$ for the same reason as in part a(ii).


Question: You are trying to plan a road trip from city A to city B. You are given an undirected graph of roads of the entire country, together with the distance along each road between any city X and any city Y: length(X,Y) (For the rest of this question, "shortest path" is always in terms of length, not number of edges). You would like to run a search algorithm to find the shortest way to get from A to B (assume no ties). Suppose C is the capital, and thus you know the shortest paths from city C to every other city, and you would like to be able to use this information. Let pathopt(X→Y) denote the shortest path from X to Y and let cost(X,Y) denote the cost of the shortest path between cities X and Y. Let [path(X→Y),path(Y→Z)] denote the concatenation. You decide to initialize priority queue with A, plus a list of all cities X, with path(A→X)=[pathopt(A→C),pathopt(C→X)], and cost(A,X)=cost(A,C)+cost(C,X). You run UCS with this initial priority queue. Which of the following is correct? (Select all that apply) A You always expand the exact same nodes as you would have if you ran standard UCS. B You might expand a different set of nodes, but still find the shortest path. C You might expand a different set of nodes, and find the sub - optimal path. D None of the above.

Regardless of what is on the queue, UCS will explore nodes in order of their shortest - path distance to A, so the set of explored nodes is always {nodesX:dist(A,X) less than dist(A,B)}


Question:
Missing Exams! The GSIs of 188 are currently looking for where all of the exams have gone! There are 5 GSIs and each one has contact with the other, and they’re looking for a grand total of E exams. Imagine Berkeley as an M × N grid and each GSI starts in a different place. The E exams are spread throughout the Berkeley grid and when a GSI visits a grid space, they are able to pick up all of the exams at that space. During each timestep, a GSI can move 1 grid space. If the exams are not found in T time steps, there will not be time to grade them, and the staff will be forced to give everyone an A. The students know this, so the GSIs must always avoid S students in the grid, otherwise they will steal the exams from them.

Which of the following are admissible heuristics for this search problem?
A. The number of exams left to be found
B. The number of exams left to be found divided by 5
C. The minimum Manhattan Distance between a GSI and an unvisited grid space
D. The maximum Manhattan Distance between a GSI and an unvisited grid space
E. The number of squares in the grid that have not been visited
F. The number of squares in the grid that have not been visited divided by 5

Note that in the correct formulation, we do not have enough information to compute the first two proposed heuristics. In any case, even if we could compute them, neither would be admissible.


Question: You have volunteered your expertise to the Red Cross’s Blood Donation Department (BDD) to improve the efficiency of their donor campaigns. Last year, BDD mailed promotional material to all individuals who had previously made financial donations. While the campaign attracted several thousand blood donors, its high cost raised concerns within the organization. BDD has data from the previous campaign, including information about who donated blood and details on prior financial donations. You are considering using machine learning to build a predictive model that estimates the likelihood of donating blood based on past financial donations. This model aims to reduce the financial cost of capturing blood donations by helping BDD decide who to target with promotional material in future campaigns. Assess the following statements and select all true options. Group of answer choices: A.The critical measure of success is the model’s ability to predict who donates blood. Accurate predictions imply the model adds value in selecting better targets. B.Data from the previous campaign could improve future targeting decisions. C.A potentially useful strategy is to target individuals who the model estimates are most likely to donate blood. D.The ideal recipients of promotional material are individuals who are likely to donate blood. E.Overall donations are unlikely to increase if the previous targeting strategy is replaced with a model-based targeting rule.


Question:
Decipher the following cipher text:

Yaef, ylw foz tb emse mvq wuwqi ohfwiao hpslg af Rcwshx ozd Nujvavo awra rsjx htaa bt efr cze rtxi – jxgfs nb Mmyaumtr Kjqwmsdy nvi snxf tif owenx hte sqwwl zfmsf qx edksmdl owsobbs. Svvhi zbg penbm, xzxfq cnv gi wosz lrax xzhishg wk vwoweiao tv kndblrujrlbbs tum Refbtqsgw. Gyl B qanfqiij bh mly bmi ehfq nrkjwktfk atinr lh gfagm ylw ycxlbenry xlbrraxpq: Mvq bnang lacggub wyfgwzg gpwsmzv fhr Ufraysetb – bmel xqanbung hkcpupbnsf, tbp tum xxjnqfuem tj khquegg tj wosdy uqxxgkwoay musua bqcraxejbzk aeqxmfz hteemkvgf

Please maintain case and punctuation and output the deciphered text in a \boxed{}.

To decipher the ciphertext, we will use the Vigenère cipher with the repeating key "manifesto". The Vigenère cipher works by shifting each letter of the plaintext by a different amount, determined by the corresponding letter in the key. For decryption, each letter in the ciphertext is shifted back by the amount corresponding to the key letter. If the key is shorter than the message, the key is repeated. Non-alphabetic characters (like spaces, punctuation) are typically left unchanged, and the key's progression pauses for these characters. The case of the letters is preserved.

The key is "manifesto". The numerical equivalents (A=0, B=1,... Z=25) are:
m = 12
a = 0
n = 13
i = 8
f = 5
e = 4
s = 18
t = 19
o = 14

The decryption formula for a ciphertext letter $C$ and a key letter $K$ (both 0-25) to get a plaintext letter $P$ is:
$P = (C - K + 26) \pmod{26}$

Let's apply this to the given ciphertext:

Original Ciphertext:
`Yaef, ylw foz tb emse mvq wuwqi ohfwiao hpslg af Rcwshx ozd Nujvavo awra rsjx htaa bt efr cze rtxi – jxgfs nb Mmyaumtr Kjqwmsdy nvi snxf tif owenx hte sqwwl zfmsf qx edksmdl owsobbs. Svvhi zbg penbm, xzxfq cnv gi wosz lrax xzhishg wk vwoweiao tv kndblrujrlbbs tum Refbtqsgw. Gyl B qanfqiij bh mly bmi ehfq nrkjwktfk atinr lh gfagm ylw ycxlbenry xlbrraxpq: Mvq bnang lacggub wyfgwzg gpwsmzv fhr Ufraysetb – bmel xqanbung hkcpupbnsf, tbp tum xxjnqfuem tj khquegg tj wosdy uqxxgkwoay musua bqcraxejbzk aeqxmfz hteemkvgf`

Applying the Vigenère decryption:

\boxed{Marx, the man to whom the whole working class of Europe and America owes more than to any one else – rests at Highgate Cemetery and over his grave the first grass is already growing. Since his death, there can be even less thought of revising or supplementing the Manifesto. But I consider it all the more necessary again to state the following expressly: The basic thought running through the Manifesto – that economic production, and the structure of society of every historical epoch necessarily arising therefrom}


Question:
Pacman bought a car, was speeding in Pac - City, and the police weren’t able to catch him. Now Pacman has run out of gas, his car has stopped, and he is currently hiding out at an undisclosed location.

In this problem, you are on the police side, tryin’ to catch Pacman!

There are still $p$ police cars in the Pac - city of dimension $m$ by $n$. In this problem, all police cars can move, with two distinct integer controls: throttle and steering, but Pacman has to stay stationary. Once one police car takes an action which lands him in the same grid as Pacman, Pacman will be arrested and the game ends.

**Throttle**: $t_i\in\{1, 0, - 1\}$, corresponding to {Gas, Coast, Brake}. This controls the **speed** of the car by determining its acceleration. The integer chosen here will be added to his velocity for the next state. For example, if a police car is currently driving at 5 grid/s and chooses Gas (1) he will be traveling at 6 grid/s in the next turn.

**Steering**: $s_i\in\{1, 0, - 1\}$, corresponding to {Turn Left, Go Straight, Turn Right}. This controls the **direction** of the car. For example, if a police car is facing North and chooses Turn Left, it will be facing West in the next turn.

Suppose you can only control 1 police car, and have absolutely no information about the remainder of $p - 1$ police cars, or where Pacman stopped to hide. Also, the police cars can travel up to 6 grid/s so $0\leq v\leq6$ at all times.

What is the **tightest upper bound** on the size of state space, if your goal is to use search to plan a sequence of actions that guarantees Pacman is caught, no matter where Pacman is hiding, or what actions other police cars take. Please note that your state space representation must be able to represent all states in the search space.

There are $ mn $ positions in total. At each legal position, there are 7 possible speeds (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6), so a factor of 7 is multiplied. In addition, since change of direction depends on orientation of the car, another factor of 4 is multiplied.

The only sequence of actions which guarantees that Pacman is caught is a sequence of actions which visits every location. Thus, we also need to a list of $ m*n $ boolean to keep track of whether we have visited a specific grid location, and that is another factor of $ 2^{mn} $


Question: 常速度偏移数据体是怎么生成的？

由一系列有一定顺序的常速度模型对地震数据进行叠前偏移计算，得到的偏移剖面整合后形成的三维体。


Question: 探地雷达作为一种近地表地球物理观测设备，常采用脉冲超宽带雷达形式，可以分为地面耦合天线和空气耦合天线两种。前者一般采用成熟的蝶形平面天线，适合于贴地探测。然而贴地探测影响了探地雷达的便捷性，也需要目标表面较为平整，当空气耦合时，该天线的性能下降很快。后者一般采用喇叭天线、Vivaldi天线或者蝶形天线的变体，具有一定聚焦性，但是实际效果不佳。我需要你给出建议，到底去优化蝶形天线让其适用空气耦合，还是去改变天线设计方式，使用聚焦性更强的天线去适应复杂多变的探测场景。

该问题其实是一个开放性问题。需要AI站在更为综合的角度去考虑问题。从已有的调研来看，采用优化蝶形天线的方案更为合理。

建议优化蝶形天线。因为其工业成熟度更高，技术方案更通用，且更能应对复杂的地质环境变化。


Question: 孔隙压力变化影响地震信号有哪几种方式？

(1)对岩石骨架的可逆弹性影响 (2)压实和成岩作用造成的永久孔隙度损失 (3)超压造成的成岩作用滞后 (4)孔隙压力造成的孔隙流体变化


Question: 目前海洋的碳酸度大约为 2.3 × 10⁻³ M，pH 值约为 8.2。假设海水混合均匀。已知海洋的总体积约为 1.4 × 10²¹ 升。海洋中的 CO₃²⁻ 浓度可由以下平衡得出： HCO₃⁻ ⇌ H⁺ + CO₃²⁻ K₂ = 7 × 10⁻¹⁰ M 假设海洋吸收大气中的 CO₂ 保持了海水的碳酸度。计算海水还能吸纳的 CO₂ 的最大浓度。 提示：大气中总的空气摩尔数是 1.8 × 10²⁰

解答：
HCO₃⁻ ⇌ H⁺ + CO₃²⁻
K₂ = 7 × 10⁻¹⁰ M

可得：

K₂ = [H⁺][CO₃²⁻] / [HCO₃⁻]
⟹ [HCO₃⁻] = [H⁺][CO₃²⁻] / K₂

根据碱度的定义，有：

[Alk] = [HCO₃⁻] + 2[CO₃²⁻]
= ([H⁺] / K₂ + 2)[CO₃²⁻]

所以：

[CO₃²⁻] = [Alk] / ([H⁺] / K₂ + 2)

海水的 pH 值为 8.2，可得：

[H⁺] = 10⁻⁸·² = 6.31 × 10⁻⁹ M

代入计算：

[CO₃²⁻] = (2.3 × 10⁻³) / ((6.31 × 10⁻⁹ / 7 × 10⁻¹⁰) + 2)
= 2.3 × 10⁻⁴ M

由于海洋总碱度守恒，其所能够吸收的 CO₂ 由 CO₃²⁻ 浓度决定，即由以下反应决定：

CO₂ + CO₃²⁻ + H₂O ⇌ 2HCO₃⁻

因此所能容纳的 CO₂ 当量摩尔数为：

1.4 × 10²¹ × 2.1 × 10⁻⁴ = 2.9 × 10¹⁷ 摩尔

海水还能吸收 2.9 × 10¹⁷ 摩尔的 CO₂，相当于大气中的浓度为：

(2.9 × 10¹⁷) / (1.8 × 10²⁰) = 0.00161 = 1610 ppm


Question: 试求由于忽略了大气的存在，在确定浅水水面的波动传播速度时所产生的相对误差为多少？

解：由前述知大气与淡水间界面波的波速公式（不考虑波动传播方向，仅考虑波速大小）为：
    c = √[ g H (1 − ρ₍大气₎/ρ₍水₎) ]

由于忽略大气的存在，即取 ρ₍大气₎ = 0，于是其波速公式就变为：
    c = √( g H )

因此，相对误差
    = ( √(g H) − √[g H (1 − ρ₍大气₎/ρ₍水₎)] ) / √[g H (1 − ρ₍大气₎/ρ₍水₎)]
    = 1 − √(1 − ρ₍大气₎/ρ₍水₎)
    ≈ ρ₍大气₎ / (2 ρ₍水₎)
    = (1.29 × 10⁻³) / 2
    = 0.065 %


Question: 试借助 PDF（ICDD）卡片及索引，对表 1，表 2 中未知物质的衍射资料作出物相鉴定。表1。 \begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|} \hline $\mathrm{d} / \AA(0.1 \mathrm{~nm})$ & $\mathrm{I} / \mathrm{I}_1$ & $\mathrm{d} / \AA(0.1 \mathrm{~nm})$ & $\mathrm{I} / \mathrm{I}_1$ & $\mathrm{d} / \AA(0.1 \mathrm{~nm})$ & $\mathrm{I} / \mathrm{I}_1$ \\ \hline 3. 66 & 50 & 1. 46 & 10 & 1. 06 & 10 \\ \hline 3. 17 & 100 & 1. 42 & 50 & 1. 01 & 10 \\ \hline 2. 24 & 80 & 1. 31 & 30 & 0. 96 & 10 \\ \hline 1. 91 & 40 & 1. 23 & 10 & 0. 85 & 10 \\ \hline 1. 83 & 30 & 1. 12 & 10 & & \\ \hline 1. 60 & 20 & 1. 08 & 10 & & \\ \hline \end{tabular} 表2。 \begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|} \hline $\mathrm{d} / \AA(0.1 \mathrm{~nm})$ & $\mathrm{I} / \mathrm{I}_1$ & $\mathrm{d} / \AA(0.1 \mathrm{~nm})$ & $\mathrm{I} / \mathrm{I}_1$ & $\mathrm{d} / \AA(0.1 \mathrm{~nm})$ & $\mathrm{I} / \mathrm{I}_1$ \\ \hline 2. 40 & 50 & 1. 26 & 10 & 0. 93 & 10 \\ \hline 2. 09 & 50 & 1. 25 & 20 & 0. 85 & 10 \\ \hline 2. 03 & 100 & 1. 20 & 10 & 0. 81 & 20 \\ \hline 1. 75 & 40 & 1. 06 & 20 & 0. 80 & 20 \\ \hline 1. 47 & 30 & 1. 02 & 10 & & \\ \hline \end{tabular}

（1）先假设表中三条最强线是同一物质的，则 $\mathrm{d}_1=3.17, \mathrm{~d}_2=2.24, \mathrm{~d}_3=3.66$ ，估计晶面间距可能误差范围 $\mathrm{d}_1$ 为 $3.19-3.15, \mathrm{~d}_2$ 为 $2.26-2.22, \mathrm{~d}_3$ 为 $3.68-3.64$ 。

根据 $\mathrm{d}_1$ 值（或 $\mathrm{d}_2, \mathrm{~d}_3$ ），在数值索引中检索适当的 $d$ 组，找出与 $\mathrm{d}_1, \mathrm{~d}_2, \mathrm{~d}_3$ 值复合较好的一些卡片。

把待测相的三强线的 $d$ 值和 $\mathrm{I} / \mathrm{I}_1$ 值相比较，淘汰一些不相符的卡片，得到：
\begin{tabular}{|l|l|lll|lll|}
\hline 物质 & 卡片顺序号 & $d /\AA$   &&& $I / I_1$ & \\
& & & & & & \\
\hline 待测物质 & - & 3.17 & 2.24 & 3.66 & 100 & 80 & 50 \\
\hline BaS & $8-454$ & 3.19 & 2.26 & 3.69 & 100 & 80 & 72 \\
\hline
\end{tabular}

因此鉴定出待测试样为 BaS
（2）同理（1），查表得出待测试样是复相混合物。并 $\mathrm{d}_1$ 与 $\mathrm{d}_3$ 两晶面检举是属于同一种物质，而 $\mathrm{d}_2$ 是属于另一种物质的。于是把 $\mathrm{d}_3=1.75$ 当作 $\mathrm{d}_2$ ，继续检索。
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|l|}
\hline 物质 & 卡片顺序号 & \multicolumn{3}{|l|}{$d / \AA$} & \multicolumn{3}{|l|}{$I / I_1$} \\
\hline 待测物质 & － & 2.03 & 1. 75 & 1. 25 & 100 & 40 & 20 \\
\hline Ni & 4－850 & 2.03 & 1. 75 & 1. 25 & 100 & 42 & 21 \\
\hline
\end{tabular}

现在需要进一步鉴定待测试样衍射花样中其余线条属于哪一相。首先，从表 2 中剔除 Ni 的线条（这里假设 Ni 的线条中另外一些相的线条不相重叠），把剩余线条另列于下表中，并把各衍射线的相对强度归一化处理，乘以因子 2 使最强线的相对强度为 $100$ 。 $\mathrm{d}_1=2.09, \mathrm{~d}_2=2.40, \mathrm{~d}_3=1.47$ 。按上述程序，检索哈氏数值索引中，发现剩余衍射线条与卡片顺序号为 $44-1159$ 的 Ni 0 衍射数据一致。
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|}
\hline 物质 & 卡片顺序号 & \multicolumn{3}{|l|}{$d / \AA$} & \multicolumn{2}{|l|}{$I / I_1$}\\
\hline 待测物质 & － & 2. 09 & 2. 40 & 1. 47 &100 60 40（归一值） \\
\hline NiO & 44－1159 & 2.09 & 2.40 & 1.48 & 100 60 30  \\
\hline
\end{tabular}

因此鉴定出待测试样为 Ni 和 NiO 的混合物。

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Question:
今有一张用 CuKa 辐射 $(\boldsymbol{\lambda}=0.154 \mathrm{~nm})$ 摄得的钨（体心立方）的粉末图样，试计算出头四根线条的相对积分强度（不计 $\mathrm{e}^{-2 \mathrm{M}}$ 和 $\mathrm{A}(\theta)$ ）。若以最强的一根强度归一化为 100 ，其他线强度各为多少？这些线条的 $\theta$ 值如下，按下表计算。
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|}
\hline 线条 & $\theta$／（＊） & HKL & P & $\frac{\sin \theta}{\lambda} n m^{-1}$ & $f$ & $\mathrm{F}^2$ & $\boldsymbol{\Phi}$$（\theta ）$ & $\mathrm{PF}^2 \boldsymbol{\Phi}$ & 强度归一化 \\
\hline 1 & 20.3 & & & & & & & & \\
\hline 2 & 29.2 & & & & & & & & \\
\hline 3 & 36.4 & & & & & & & & \\
\hline 4 & 43.6 & & & & & & & & \\
\hline
\end{tabular}

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Question: 欲在应力仪（测角仪为立式）上分别测量圆柱形工件之轴向、径向及切向应力工件各应如何放置？假定测角仪为卧式，今要测定一个圆柱形零件的轴向及切向应力，问试样应该如何放置？

当测角仪为立式式，可以使用同倾法中的固定 $\Psi$ 法中的法 $0^{\circ}-45^{\circ}$ 来测应力，此时测量方向平面与扫描平面重合。测工件轴向应力时使圆柱侧面垂直于入射线（此时 $\Psi=0^{\circ}$ ），然后再使样品在测量方向平面内转动 $45^{\circ}$（此时 $\Psi=45^{\circ}$ ）；测径向应力时，应使样品底面垂直于入射线（此时 $\Psi=0^{\circ}$ ），再使样品在测量方向平面内转动 $45^{\circ}$（此时 $\Psi=45^{\circ}$ ）；测量切向应力时，应使工件切应力方向垂直于入射线，即使入射线垂直于切向于轴向所形成的平面（此时 $\Psi=0^{\circ}$ ），再使样品在测量方向平面内转动 $45^{\circ}$（此时 $\Psi=45^{\circ}$ ）。
当测角仪为卧式时，可用侧倾法来测应力，此时即扫描平面（衍射平面）垂直于测量方向平面，当测工件轴向应力时，使工件位于轴向与径向所构成的平面内，侧面垂直于径向，扫描平面位于径向与切向所构成的平面内。测工件切向应力时，使工件轴向垂直于测角仪，测量时转动一定角度即可。

立式测角仪：测量轴向应力时，圆柱侧面垂直入射线；测量径向应力时，样品底面垂直入射线；测量切向应力时，工件切应力方向垂于入射线。

卧式测角仪：测量轴向应力时，工件位于轴向与径向所构成的平面内，侧面垂直于径向；测量切向应力时，工件轴向垂直于测角仪。

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Question: 同步辐射技术可以测量材料在加载变形过程中晶格间距的变化，随着加载拉伸应力的提高，晶格间距会变大还是变小？如果晶格间距先变大后逐渐变小至原始的晶格间距，可能是因为什么原因？

变大 发生了塑性变形（如位错滑移），释放了弹性应力

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Question:
Can you derive an analytical expression for the partition function of a one-dimensional free ring polymer (where $V(\mathbf{x} )=0$) in the representation of path-integral formula?
$$
Z_{\text{free }} =\left(\frac{mP}{2\pi \beta \hbar ^{2}}\right)^{P/2}\int dx_{1} \cdots dx_{P}\exp\left( -\beta \sum _{i=1}^{P}\frac{mP}{2\beta ^{2} \hbar ^{2}}( x_{i} -x_{i+1})^{2}\right)
$$
where the cyclic boundary condition applies: $x_{P+1} =x_{1}$, $ P$ is the number of replica (or beads). Suppose the centroid motion is confined within $ L$.

First perform normal mode transformation to uncouple the motion of beads:

$$
\tilde{\omega }_{k}^{2} =4\omega _{P}^{2}\sin^{2}\left(\frac{k\pi }{P}\right) =4\frac{P}{\beta ^{2} \hbar ^{2}}\sin^{2}\left(\frac{k\pi }{P}\right) .
$$

We then have $ P-1$ Gaussian integrals and one zero-frequency mode from the centroid motion which integrals generating $L$:

$$
\begin{aligned}
\int \mathrm{d} x_{1} \cdots \mathrm{d} x_{P}\exp\left\{-\beta \sum _{k=1}^{P}\frac{mP}{2\hbar ^{2} \beta ^{2}}( x_{k+1} -x_{k})^{2}\right\} & =\int _{x_{P} \in L}\mathrm{d}\tilde{x}_{0}\prod _{k=1}^{P-1}\int \mathrm{d}\tilde{x}_{k}\exp\left( -\beta \frac{m}{2}\tilde{\omega }_{k}^{2}\tilde{x}_{k}^{2}\right)\\
 & =P^{1/2} L\prod _{k=1}^{P-1}\left(\frac{2\pi \beta \hbar ^{2}}{mP}\right)^{1/2}\frac{1}{2\sin( k\pi /P)}\\
 & =P^{1/2} L\left(\frac{2\pi \beta \hbar ^{2}}{mP}\right)^{P/2-1/2}\frac{1}{P}
\end{aligned}
$$

Bring this integral back to the expression of partition function, the final expression is

$$
Z_{\text{free }} =L\left(\frac{m}{2\pi \beta \hbar ^{2}}\right)^{1/2} .
$$

Note the answer should be $P$-independent.


Question: 推导HF方程中利用了Slater行列式D的交换特性，以及波函数的正交性来计算$$。对于一个n电子体系，该$$积分完全展开总项数为？

在推导Hartree-Fock方程时，对于一个n电子体系，其Slater行列式为n阶行列式，其完全展开的总项数为n！。


Question: 求由碳纤维／环氧树脂（T300／5208）制成的正交誧设对称层合板 $\left[0_4 / 90_4\right]_{\mathrm{s}}$在 $N_x^*=50 \mathrm{MPa}, N_y^*=-50 \mathrm{MPa}, N_{x y}^*=M_x^*=M_y^*=M_{x y}^*=0$ 作用下各单层的应力。并按最大应力准则校核强度，已知安全系数 $n=3$ 。


Question: 各向同性板四周简支，受均布面外载荷作用，即 $p(x, y)=p_0$ 。利用力矩和曲率的关系，计算 $M_x$ 。

$D_{11}=D, \quad D_{12}=\mu D$ ，

$$
\begin{aligned}
M_x & =-D\left(\frac{\partial^2 w}{\partial x^2}+\mu \frac{\partial^2 w}{\partial y^2}\right) \\
& =-\frac{16 p_0}{\pi^4} \frac{a^4 b^4}{a^4+2 a^2 b^2+b^4}\left(\frac{1}{a^2}+\mu \frac{1}{b^2}\right) \sin \frac{\pi x}{a} \sin \frac{\pi y}{b}
\end{aligned}
$$


Question: 承受均布横向载荷 $q_0$ 、四边简支三层（每一层的材料性能相同）特殊正交各向异性复合材料单层板构成的复合材料对称层合板，上下层厚度均为t，夹层厚度$2\bar{t}$，试求该层合板的弯曲变形挠度。


Question: 单层板性能参数为：$E_L=38.6 \mathrm{GPa}, G_{L T}=4.1 \mathrm{GPa}$ ， $E_T=8.3 \mathrm{GPa}, \mu_{L T}=0.26$ 。计算 $\left(0^{\circ} / \pm 45^{\circ} / 90^{\circ}\right)_{2 \mathrm{~s}}$ 和 $\left(0^{\circ} / 90^{\circ}\right)_{4 \mathrm{~s}}$ 两种带孔层合板的应力集中系数。


Question: 试给出如下层合板的 $A_{i j}$ 与 $Q_{i j}$ 的关系式： （1）$\left[\mathrm{O}_{2} / 90\right]_{2 \mathrm{s}}$ ； （2）$[0 / \pm 45 / 90]_{2 S}$


Question: 复合材料杆件由两种纤维以及基体构成，组分材料性能参数列于下表中。 （1）设杆件截面尺寸为 $10 \mathrm{~cm}^2$ ，若每种组分材料都不发生破坏，求杆件所能承受的最大载荷； （2）求杆件的极限载荷； （3）判断哪一种组分材料最后破坏； 表 组分材料性能参数 \begin{tabular}{|l|l|l|l|l|} \hline 材 料 & 密度／（g／cm ${ }^3$ ） & 质量分数 $W_t(\%)$ & $E / \mathrm{GPa}$ & $\sigma_{\mathrm{u}} / \mathrm{GPa}$ \\ \hline 黐结剂 & 1.3 & 35 & 3.5 & 0.06 \\ \hline 纤维 A & 2.5 & 45 & 70 & 1.4 \\ \hline 纤维 B & 1.6 & 20 & 6 & 0.45 \\ \hline \end{tabular}

（1）求体积分数。记各组分体积为 $V_{i 0}$ ，体积分数为 $V_i$ ，总的质量为 $W$ ，有
$$
\begin{gathered}
\rho_i V_{i 0}=w_i W, \quad V_{i 0}=w_i W / \rho_i \\
V_i=V_{i 0} / \sum w_i W / \rho_i
\end{gathered}
$$
则黏结剂，纤维 A ，纤维 B 的体积分数分别为 $46.86 \%, 31.36 \%, 21.78 \%$ 。
（2）求每种组分材料都不发生破坏时，杆件所能承受的最大载荷。
由 $\varepsilon_{f i}=\sigma_{u i} / E_i$ 得，黏结剂，纤维 A ，纤维 B 各组分材料的断裂应变分别为 1.7 $\times 10^{-2}, 2.0 \times 10^{-2}, 7.5 \times 10^{-2}$ 。
又
$$
\begin{aligned}
F & =A \sigma_1=A \sum \sigma_i V_i=A \varepsilon \sum E_i V_i \\
& =1000 \times 1.7 \times 10^{-2}(3.5 \times 0.4686+70 \times 0.3136+6 \times 0.2178) \mathrm{kN} \\
& =423.3 \mathrm{kN}
\end{aligned}
$$
$$
E_1=\sum E_i V_i=24.9 \mathrm{GPa}
$$
（3）黏结剂最先发生破坏，纤维 B 最后破坏。黏结剂破坏之后，杆的模量下降为 $E=23.26 \mathrm{GPa}$ 。载荷由纤维 $\mathrm{A}, ~ \mathrm{~B}$ 承担，极限载荷为
$$
\begin{aligned}
F & =A \sigma_1=A \sum \sigma_i V_i=A \varepsilon \sum E_i V_i \\
& =1000 \times 2.0 \times 10^{-2}(70 \times 0.3136+6 \times 0.2178) \mathrm{kN} \\
& =465.2 \mathrm{kN}
\end{aligned}
$$
纤维 A 断裂后，纤维 B 不能承受上述极限载荷，将随之破坏。
注：以下各点可作出载荷－应变曲线：$(0,0),(0.017,423.3),(0.0182,423.3),(0.02,465.2)$

F=423.3 \mathrm{kN}
F=465.2 \mathrm{kN}
纤维B


Question: 求四边简支特殊正交各向异性层合板的自振频率表达式。

由于 $B_{i j}=0$ ，同时考虑到 $A_{16}=A_{26}=D_{16}=D_{26}=0$ ，这种层合板的振动频率和振型可以由单一的振动微分方程来描述：
$$
D_{11} \delta w_{x x x x}+2\left(D_{12}+2 D_{66}\right) \delta w_{x x y y}+D_{22} \delta w_{ y y y}+\rho \delta w_{t t}=0
$$
边界条件为
$$
\left\{\begin{array}{l}
x=0, a: \delta w=0, \delta M_x=-D_{11} \delta w_{x x}-D_{12} \delta w_{ y y}=0 \\
y=0, b: \delta w=0, \delta M_y=-D_{12} \delta w_{x x}-D_{22} \delta w_{ y y}=0
\end{array}\right.
$$
选取
$$
\delta w(x, y, t)=(A \cos \omega t+B \sin \omega t) \delta w(x, y)
$$
将此问题分为时间和空间两部分。为边界条件，进一步选取
$$
\delta w(x, y)=\sin \frac{m \pi x}{a} \sin \frac{n \pi y}{b}
$$
则
$$
\delta w(x, y, t)=(A \cos \omega t+B \sin \omega t) \sin \frac{m \pi x}{a} \sin \frac{n \pi y}{b}
$$
$$
\omega^2=\frac{\pi^4}{\rho}\left[D_{11}\left(\frac{m}{a}\right)^4+2\left(D_{12}+2 D_{66}\right)\left(\frac{m}{a}\right)^2\left(\frac{n}{b}\right)^2+D_{22}\left(\frac{n}{b}\right)^4\right]
$$
式中各种频率 $\omega$ 对应于不同的振型。随着 $m$ 和 $n$ 的变化，振型也不同。当 $m=1, n=1$ 时，得到基本频率。


Question:
求 $\left(0^{\circ} / 90^{\circ}\right)$ ，层合板在 $N_x$ 作用和温度变化 $\Delta T=-100{ }^{\circ} \mathrm{C}$ 条件下的极限应力 $N_x / t$ 。各单层板厚度是 $t / 4$ ，层合板的厚度是 $t$ 。若忽略温度变化的影响，极限应力又为多少？用分别求解外加载荷以及温度变化引起的应力，通过扣除残余应力贡献的方法，确定极限应力。已知：

$$
\begin{gathered}
E_1=60 \mathrm{GPa}, \quad E_2=20 \mathrm{GPa}, \quad \mu_{12}=0.25, \quad G_{12}=10 \mathrm{GPa} \\
\alpha_1=-6 \times 10^{-6} \mathrm{~K}^{-1}, \quad \alpha_2=20 \times 10^{-6} \mathrm{~K}^{-1} \\
X_{\mathrm{t}}=X_{\mathrm{c}}=1000 \mathrm{MPa}, \quad Y_{\mathrm{t}}=50 \mathrm{MPa}, \quad Y_{\mathrm{c}}=150 \mathrm{MPa}, \quad S=50 \mathrm{MPa}
\end{gathered}
$$

（1）考虑 $N_x$ 单独作用的情况。设 $N_x / t=10 \mathrm{MPa}$ 。由本构关系 $\boldsymbol{N}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{\varepsilon}$ 求解应变，以及各单层板的应力，得

$$
\begin{aligned}
& \varepsilon_x^0=248.7 \times 10^{-6}, \quad \varepsilon_y^0=-31.0 \times 10^{-6}, \quad \gamma_{x y}^0=0 \\
& {\left[\begin{array}{l}
\sigma_1 \\
\sigma_2 \\
\tau_{12}
\end{array}\right]_{0^{\circ}}=Q\left[\begin{array}{c}
248.7 \\
-31.0 \\
0
\end{array}\right] \times 10^{-6} \mathrm{MPa}=\left[\begin{array}{c}
15.09 \\
0.64 \\
0
\end{array}\right] \mathrm{MPa}} \\
& {\left[\begin{array}{l}
\sigma_1 \\
\sigma_2 \\
\tau_{12}
\end{array}\right]_{90^{\circ}}=Q\left[\begin{array}{c}
-31.0 \\
248.7 \\
0
\end{array}\right] \times 10^{-6} \mathrm{MPa}=\left[\begin{array}{c}
1.09 \\
4.91 \\
0
\end{array}\right] \mathrm{MPa}}
\end{aligned}
$$

在 $N_x / t=10 \mathrm{MPa}$ 的单独作用下，在 $90^{\circ}$ 层横方向上最易发生破坏，其拉伸应力为 $4.91 MPa$ 。临界应力为 $N_x / t=(50 / 4.91) \times 10 \mathrm{MPa}=101.8 \mathrm{MPa}$ 。
（2）求仅有温度变化时的残余热应力。由本构关系 $\boldsymbol{N}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{\varepsilon}$ 解出应变，以及各单层板的应力，即

$$
t\left[\begin{array}{c}
-5.58 \\
-5.58 \\
0
\end{array}\right]=10^3 t\left[\begin{array}{ccc}
40.85 & 5.1 & 0 \\
5.1 & 40.85 & 0 \\
0 & 0 & 10
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
\varepsilon_x^0 \\
\varepsilon_y^0 \\
\gamma_{x y}^0
\end{array}\right], \quad\left\{\begin{array}{c}
\varepsilon_x^0 \\
\varepsilon_y^0 \\
\gamma_{x y}^0
\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}
-121 \\
-121 \\
0
\end{array}\right\} \times 10^{-6}
$$

$0^{\circ}$ 层力学应变以及残余热应力为

$$
\begin{gathered}
{\left[\begin{array}{l}
\varepsilon_1^{\mathrm{M}} \\
\varepsilon_2^{\mathrm{M}} \\
\gamma_{12}^{\mathrm{M}}
\end{array}\right]_{0^*}=\left[\begin{array}{l}
\varepsilon_x^{\mathrm{M}} \\
\varepsilon_y^{\mathrm{M}} \\
\gamma_{x y}^{\mathrm{M}}
\end{array}\right]_{0^*}=\left[\begin{array}{l}
\varepsilon_x^0 \\
\varepsilon_y^0 \\
\gamma_{x y}^0
\end{array}\right]-\Delta T\left[\begin{array}{l}
\alpha_x \\
\alpha_y \\
\alpha_{x y}
\end{array}\right]_{0^{\circ}}=\left[\begin{array}{c}
-721 \\
1879 \\
0
\end{array}\right] \times 10^{-6}} \\
{\left[\begin{array}{l}
\sigma_1 \\
\sigma_2 \\
\tau_{12}
\end{array}\right]_{0^{\circ}}=Q\left[\begin{array}{c}
-721 \\
1879 \\
0
\end{array}\right] \times 10^{-6} \mathrm{MPa}=\left[\begin{array}{c}
-34.6 \\
34.6 \\
0
\end{array}\right] \mathrm{MPa}}
\end{gathered}
$$

同样可以得到 $90^{\circ}$ 层的残余热应力

$$
\left[\begin{array}{l}
\sigma_1 \\
\sigma_2 \\
\tau_{12}
\end{array}\right]_{90^{\circ}}=Q\left[\begin{array}{c}
-721 \\
1879 \\
0
\end{array}\right] \times 10^{-6} \mathrm{MPa}=\left[\begin{array}{c}
-34.6 \\
34.6 \\
0
\end{array}\right] \mathrm{MPa}
$$

（3）考虑外加载荷与温度残余应力。
扣除温度残余应力，由外加载荷引起的 $90^{\circ}$ 层横方向上的应力不能超过$(50－34.6)\mathrm{MPa}=15.4 \mathrm{MPa}$ ，因此，极限应力为 $N_x / t=(15.4 / 4.91) \times 10$ $\mathrm{MPa}=31.4 \mathrm{MPa}$ 。


Question: 考虑 $\left(0^{\circ} / 90^{\circ}\right)$ s 碳／环氧正交层合板。单层板性能参数为 $E_1=140$ $\mathrm{GPa}, E_2=10 \mathrm{GPa}, G_{12}=5 \mathrm{GPa}, \mu_{12}=0.3, X_{\mathrm{t}}=1500 \mathrm{GPa}, X_{\mathrm{c}}=1200 \mathrm{MPa}, Y_{\mathrm{t}}=50$ $\mathrm{MPa}, Y_{\mathrm{c}}=250 \mathrm{MPa}, S=70 \mathrm{MPa}, t_{\mathrm{p}}=0.125 \mathrm{~mm}$ ，受 $N_x=100 \mathrm{~N} / \mathrm{mm}$ 拉伸作用。判断各层是否破坏，并确定首层破坏强度。

由弹性性能参数求出单层板刚度系数矩阵，以及层合板的拉伸刚度矩阵和柔度矩阵分别为

$$
\begin{gathered}
\boldsymbol{Q}=\left[\begin{array}{ccc}
140.9 & 3.0 & 0 \\
3.0 & 10.1 & 0 \\
0 & 0 & 5.0
\end{array}\right] \mathrm{GPa} \\
\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}
37.8 & 1.5 & 0 \\
1.5 & 37.8 & 0 \\
0 & 0 & 2.5
\end{array}\right] \mathrm{kN} / \mathrm{mm} \\
\boldsymbol{a}=\left[\begin{array}{ccc}
0.0265 & -0.0011 & 0 \\
-0.0011 & 0.0265 & 0 \\
0 & 0 & 0.4000
\end{array}\right] \mathrm{mm} / \mathrm{kN}
\end{gathered}
$$

求得应变为

$$
\left[\begin{array}{c}
\varepsilon_x^0 \\
\varepsilon_y^0 \\
\gamma_{x y}^0
\end{array}\right]=\boldsymbol{a}\left[\begin{array}{c}
100 \\
0 \\
0
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
2650 \\
-110 \\
0
\end{array}\right] \times 10^{-6}
$$

$0^{\circ}$ 层主轴方向的应变就等于上面的应变， $90^{\circ}$ 层主轴方向的应变只需将上面的前两个应变分量互换就行。
求得 $0^{\circ}$ 层应力为

$$
\left[\begin{array}{l}
\sigma_1 \\
\sigma_2 \\
\tau_{12}
\end{array}\right]=\boldsymbol{Q}\left[\begin{array}{c}
2650 \\
-110 \\
0
\end{array}\right] \times 10^{-6}=\left[\begin{array}{c}
373 \\
7 \\
0
\end{array}\right] \mathrm{MPa}
$$

由最大应力准则求破坏指标：
$F．I．(1)=373 / 1500=0.25$
$F．I．(2)=7 / 50=0.14$
$F．I．(12)=0 / 70=0$
$90^{\circ}$ 层应力和破坏指标分别为

$$
\left[\begin{array}{l}
\sigma_1 \\
\sigma_2 \\
\tau_{12}
\end{array}\right]=Q\left[\begin{array}{c}
-110 \\
2650 \\
0
\end{array}\right] \times 10^{-6}=\left[\begin{array}{c}
-7 \\
26 \\
0
\end{array}\right] \mathrm{MPa}
$$

$F．I．(1)=7 / 1200=0.01$
$F．I．(2)=26 / 50=0.52$
$F．I．(12)=0 / 70=0$
从计算结果看出， $90^{\circ}$ 层横方向的破坏指标最大，但小于 1 。所以在 $N_x=100$ $\mathrm{N} / \mathrm{mm}$ 作用下，没有哪一层会发生破坏，层合板可以承担更大的载荷。由最大应力准则求得的破坏指标与载荷成比例，因此，为使最大的破坏指标刚好等于 1 ，将 $N_x$ 扩大 $1 / 0.52$ 倍，这样可求得首层破坏的临界载荷为

$$
N_{x c}=100 / 0.52 \mathrm{~N} / \mathrm{mm}=192 \mathrm{~N} / \mathrm{mm}
$$

整个层合板厚 $h=0.125 \times 4 \mathrm{~mm}=0.5 \mathrm{~mm}$ ，所以，破坏强度为

$$
\sigma_{x c}=N_{x c} / h=384 \mathrm{MPa}
$$

根据对称性，这里所指的首层破坏实际上是两个 $90^{\circ}$ 层同时破坏。


Question: 确定非对称双金属梁的拉伸刚度矩阵，耦合刚度矩阵和弯曲刚度矩阵。两金属层等厚度，均为 $t$ ，总厚度为 $2 t$ 。

$\quad \bar{Q}_1=\left[\begin{array}{ccc}\frac{E_1}{1-\mu_1^2} & \frac{\mu_1 E_1}{1-\mu_1^2} & 0 \\ \frac{\mu_1 E_1}{1-\mu_1^2} & \frac{E_1}{1-\mu_1^2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{E_1}{2\left(1+\mu_1\right)}\end{array}\right], \quad \bar{Q}_2=\left[\begin{array}{ccc}\frac{E_2}{1-\mu_2^2} & \frac{\mu_2 E_2}{1-\mu_2^2} & 0 \\ \frac{\mu_2 E_2}{1-\mu_2^2} & \frac{E_2}{1-\mu_2^2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{E_2}{2\left(1+\mu_2\right)}\end{array}\right]$
由 $z_0=-t, z_1=0, z_2=t$ 得

$$
\boldsymbol{A}=t\left(\overline{\boldsymbol{Q}}_1+\overline{\boldsymbol{Q}}_2\right), \quad \boldsymbol{B}=\frac{t^2}{2}\left(-\overline{\boldsymbol{Q}}_1+\overline{\boldsymbol{Q}}_2\right), \quad \boldsymbol{D}=\frac{t^3}{3}\left(\overline{\boldsymbol{Q}}_1+\overline{\boldsymbol{Q}}_2\right)
$$


Question: 考虑$\left(0^{\circ} / 90^{\circ}\right)_{\mathrm{s}}$ 碳／环氧正交层合板，受 $N_x=100 \mathrm{~N} / \mathrm{mm}$作用。单层板性能参数为 $E_1=140 \mathrm{GPa}, E_2=10 \mathrm{GPa}, G_{12}=5 \mathrm{GPa}, \mu_{12}=0.3, X_{\mathrm{t}}=$ $1500 \mathrm{GPa}, X_{\mathrm{c}}=1200 \mathrm{MPa}, Y_{\mathrm{t}}=50 \mathrm{MPa}, Y_{\mathrm{c}}=250 \mathrm{MPa}, S=70 \mathrm{MPa}$ ，单层板厚度 $t_{\mathrm{p}}$ $=0.125 \mathrm{~mm}$ 。已知单层板 $\alpha_1=-0.3 \times 10^{-6} \mathrm{~K}^{-1}, \alpha_2=28 \times 10^{-6} \mathrm{~K}^{-1}$ ，温度变化 $\Delta T=-100{ }^{\circ} \mathrm{C}$ 。层合板各处有相同的吸水量 $\Delta C=0.5 \%$ ，单层板的湿膨胀系数 $\beta_1$ $=0.01, \beta_2=0.30$ 。 确定该层合板是否会发生破坏。在温度条件和吸水量不变时，刚好发生首层破坏的载荷是多少？

层合板的刚度矩阵、柔度矩阵，以及各单层应力，分别为
$$
\begin{aligned}
& Q=\left[\begin{array}{ccc}
140.9 & 3.0 & 0 \\
3.0 & 10.1 & 0 \\
0 & 0 & 5.0
\end{array}\right] \mathrm{GPa} \\
& \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}
37.8 & 1.5 & 0 \\
1.5 & 37.8 & 0 \\
0 & 0 & 2.5
\end{array}\right] \mathrm{kN} / \mathrm{mm} \\
& \boldsymbol{a}=\left[\begin{array}{ccc}
0.0265 & -0.0011 & 0 \\
-0.0011 & 0.0265 & 0 \\
0 & 0 & 0.4000
\end{array}\right] \mathrm{mm} / \mathrm{kN} \\
& {\left[\begin{array}{l}
\sigma_1 \\
\sigma_2 \\
\tau_{12}
\end{array}\right]_{0^{\circ}}=\left[\begin{array}{c}
373 \\
7 \\
0
\end{array}\right] \mathrm{MPa}} \\
& {\left[\begin{array}{l}
\sigma_1 \\
\sigma_2 \\
\tau_{12}
\end{array}\right]_{90^{\circ}}=\left[\begin{array}{c}
-7 \\
26 \\
0
\end{array}\right] \mathrm{MPa}}
\end{aligned}
$$
在 $N_x=100 \mathrm{~N} / \mathrm{mm}$ 的单独作用下， $90^{\circ}$ 层横方向最易发生破坏，其拉伸应力为 26 MPa 。临界载荷为 $(50 / 26) \times 100 \mathrm{~N} / \mathrm{mm}=192 \mathrm{~N} / \mathrm{mm}$ 。
（2）仅有温度变化时的残余热应力计算如下：
$$
\begin{gathered}
{\left[\begin{array}{c}
\varepsilon_x^{\mathrm{T}} \\
\varepsilon_y^{\mathrm{T}} \\
\gamma_{x y}^{\mathrm{T}}
\end{array}\right]_{0^{\circ}}=10^{-6}\left[\begin{array}{c}
30 \\
-2800 \\
0
\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}
\varepsilon_x^{\mathrm{T}} \\
\varepsilon_y^{\mathrm{T}} \\
\gamma_{x y}^{\mathrm{T}}
\end{array}\right]_{90^{\circ}}=10^{-6}\left[\begin{array}{c}
-2800 \\
30 \\
0
\end{array}\right]} \\
{\left[\begin{array}{c}
N_x^{\mathrm{T}} \\
N_y^{\mathrm{T}} \\
N_{x y}^{\mathrm{T}}
\end{array}\right]=\sum_k\left(\bar{Q}_{i j}\right)_k\left[\begin{array}{c}
\alpha_x \\
\alpha_y \\
\alpha_{x y}
\end{array}\right]_k\left(z_k-z_{k-1}\right) \Delta T=\left[\begin{array}{c}
-8.092 \\
-8.092 \\
0
\end{array}\right] \mathrm{N} / \mathrm{mm}} \\
{\left[\begin{array}{c}
\varepsilon_x^0 \\
\varepsilon_y^0 \\
\gamma_{x y}^0
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
-206 \\
-206 \\
0
\end{array}\right] \times 10^{-6}}
\end{gathered}
$$
$0^{\circ}$ 层力学应变以及残余热应力为
$$
\left[\begin{array}{l}
\varepsilon_1^{\mathrm{M}} \\
\varepsilon_2^{\mathrm{M}} \\
\gamma_{12}^{\mathrm{M}}
\end{array}\right]_{0^{\circ}}=\left[\begin{array}{c}
-236 \\
2594 \\
0
\end{array}\right] \times 10^{-6}
$$
$$
\left[\begin{array}{c}
\sigma_1 \\
\sigma_2 \\
\tau_{12}
\end{array}\right]_{0^{\circ}}=\left[\begin{array}{c}
-26 \\
26 \\
0
\end{array}\right] \mathrm{MPa}
$$
同样可以得到 $90^{\circ}$ 层的残余热应力相同
上述残余应力满足自平衡条件。整个层合板在 $x$ 和 $y$ 方向上的热膨胀系数，由定义及以上结果求得，即
$$
\left[\begin{array}{c}
\alpha_x \\
\alpha_y \\
\alpha_{x y}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
\varepsilon_x^0 \\
\varepsilon_y^0 \\
\gamma_{x y}^0
\end{array}\right] / \Delta T=10^{-6} \times\left[\begin{array}{c}
2.06 \\
2.06 \\
0
\end{array}\right] \mathrm{K}^{-1}
$$

（3）同理得到仅有吸湿变形时残余应力满足自平衡条件。
$$
\left[\begin{array}{c}
\beta_x \\
\beta_y \\
\beta_{x y}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
\varepsilon_x^0 \\
\varepsilon_y^0 \\
\gamma_{x y}^0
\end{array}\right] / \Delta C=\left[\begin{array}{c}
0.034 \\
0.034 \\
0
\end{array}\right]
$$
（4）考虑外加载荷以及温度、湿度残余应力，

$$
\begin{aligned}
& \left(\begin{array}{l}
\sigma_1 \\
\sigma_2 \\
\tau_{12}
\end{array}\right)_{0^{\circ}}=\left(\begin{array}{c}
373-26+13 \\
7+26-13 \\
0
\end{array}\right) \mathrm{MPa}=\left(\begin{array}{c}
360 \\
20 \\
0
\end{array}\right) \mathrm{MPa} \\
& \left(\begin{array}{l}
\sigma_1 \\
\sigma_2 \\
\tau_{12}
\end{array}\right)_{90^{\circ}}=\left(\begin{array}{c}
-7-26+13 \\
26+26-13 \\
0
\end{array}\right) \mathrm{MPa}=\left(\begin{array}{c}
-20 \\
39 \\
0
\end{array}\right) \mathrm{MPa}
\end{aligned}
$$
此时， $90^{\circ}$ 层横方向上的破坏指标最大，即 $39 / 50=0.78$ ，但尚末发生破坏。因为温度应力加上吸水膨胀残余应力的贡献是恒定的，即$(26－13)MPa =13 \mathrm{MPa}$ ，外加载荷单独引起的应力不能超过 $(50-13) \mathrm{MPa}=37 \mathrm{MPa}$ 。因此，求得临界载荷为 $(37 / 26) \times 100 \mathrm{~N} / \mathrm{mm}=142 \mathrm{~N} / \mathrm{mm}$ 。


Question: 单向复合材料偏轴角度为 $45^{\circ}$ ，受面内应力作用，$\sigma_x=30 \mathrm{MPa}, \sigma_y=0, \tau_{x y}=10 \mathrm{MPa}$ ，强度指标 $X_{\mathrm{t}}=500 \mathrm{MPa}, X_{\mathrm{c}}=350 \mathrm{MPa}, Y_{\mathrm{t}}=25 \mathrm{MPa}, Y_{\mathrm{c}}=75 \mathrm{MPa}, S=35 \mathrm{MPa}$ ，求其破坏指标。若剪应力方向改变，其他条件不变，结果会怎样？

$$
\left[\begin{array}{c}
\sigma_1 \\
\sigma_2 \\
\tau_{12}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}
0.5 & 0.5 & 1 \\
0.5 & 0.5 & -1 \\
-0.5 & 0.5 & 0
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
30 \\
0 \\
\pm 10
\end{array}\right] \mathrm{MPa}
$$
正，负剪切作用下主轴方向应力分别为
$$
\left[\begin{array}{c}
25 \\
5 \\
-15
\end{array}\right] \mathrm{MPa}, \quad\left[\begin{array}{c}
5 \\
25 \\
-15
\end{array}\right] \mathrm{MPa}
$$
正剪切作用下
$$
\text { F.I. }=\left(\frac{25}{500}\right)^2+\left(\frac{5}{25}\right)^2+\left(\frac{15}{35}\right)^2-\left(\frac{25}{500}\right)\left(\frac{5}{25}\right)=0.22
$$
负剪切作用下
$$
\text { F.I. }=\left(\frac{5}{500}\right)^2+\left(\frac{25}{25}\right)^2+\left(\frac{15}{35}\right)^2-\left(\frac{5}{500}\right)\left(\frac{25}{25}\right)=1.17
$$


Question: 单向层合板材料性能参数为 $E_x=140 \mathrm{GPa}, E_y=10 \mathrm{GPa}, \mu_{x y}=0.3, G_{x y}=5 \mathrm{GPa}$ 。板厚 $t=5 \mathrm{~mm}, a=b=50 \mathrm{~cm}$ ，四周简支，受横向均布载荷 $p_0=25 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^2$ 作用。可以依此求板的最大位移，将这块板记作原正方形板。单向层合板换为 $\left[0^{\circ} / 90^{\circ}\right]_{\mathrm{s}}$ 层合板，或 $\left(90^{\circ} / 0^{\circ}\right)_{\mathrm{s}}$ 层合板，总的厚度和其他条件不变，也会得到相应结果。现在对三类板子统一调整使得$b=25 \mathrm{~cm}$ ，其他条件不变，结果相较原正方形板如何变化？

（1）对于单向层合板，板厚度为 $t$ ，则
$\boldsymbol{D}=\frac{t^3}{12} \times \boldsymbol{Q}$
（2）对于 $\left(0^{\circ} / 90^{\circ}\right)_s$层合板，有
$\boldsymbol{D}=\frac{t^3}{12} \times \frac{7 \overline{\boldsymbol{Q}}_1+\overline{\boldsymbol{Q}}_2}{8}$
此处厚度增加到原来的$10$倍，弯曲刚度扩大到原来的$1000$倍
即$$
\boldsymbol{D}=\left[\begin{array}{ccc}
1298.1 & 31.3 & 0 \\
31.3 & 275.3 & 0 \\
0 & 0 & 52.1
\end{array}\right] \mathrm{kN} \cdot \mathrm{~mm}
$$
计算表明，位移函数与单向层合板的情况相同，因此，应力也相同。值得注意的是若不是正方形板，则上述结论不成立。
（3）$\left(90^{\circ} / 0^{\circ}\right)_s$层合板与 $\left(0^{\circ} / 90^{\circ}\right)_s$层合板的差别是，$D_{22}$ 与 $D_{11}$ 互换，位移函数结果也相同。

由于位移幅值为 $-\frac{16 a^4}{\pi^6} \frac{1}{D_{11}+2\left(D_{12}+2 D_{66}\right)(a / b)^2+D_{22}(a / b)^4}$ 。
不同的板与正方形板相比差别在于，分母中 $a / b=1$ 变为 $a / b=2$ 。
单向板：结果为正方形板的 0.435 倍。
$\left(0^{\circ} / 90^{\circ}\right)_s$层合板：结果为正方形板的$0.272$倍。
$\left(90^{\circ} / 0^{\circ}\right)_s$层合板：$D_{22}$ 与 $D_{11}$ 互换，结果为正方形板的$0.083$倍。

单向板：结果为原正方形板的$0.435$倍


Question: 碳／环氧单层板的厚度为 0.125 mm ，弹性常数为：$E_1=$ $140 \mathrm{GPa}, E_2=10 \mathrm{GPa}, G_{12}=5 \mathrm{GPa}, \mu_{12}=0.3$ 。计算 $\left(45^{\circ} /-45^{\circ}\right)$ 层合板的耦合刚度系数。


Question: 玻璃纤维增强复合材料交织纤维板在主轴方向上的弹性常数为 $E_{\mathrm{G}}=23 \mathrm{GPa}, \mu_{\mathrm{G}}= 0.17$，碳纤维增强复合材料交织纤维板在主轴方向上的弹性常数为 $E_{\mathrm{C}}=50 \mathrm{GPa}, \mu_{\mathrm{C}}=0.1$ 。给出（GFRP／CFRP）s层合板和（CFRP／GFRP）层合板的弯曲刚度系数 $D_{11}$表达式 。

$$
\begin{gathered}
\left(\bar{Q}_{11}\right)_{\mathrm{G}}=E_{\mathrm{G}} /\left(1-\mu_{\mathrm{G}}^2\right)=23.7 \mathrm{GPa}, \quad\left(\bar{Q}_{11}\right)_{\mathrm{C}}=E_{\mathrm{C}} /\left(1-\mu_{\mathrm{C}}^2\right)=50.5 \mathrm{GPa} \\
z_0=-\frac{t}{2}, \quad z_1=-\frac{t}{4}, \quad z_2=0, \quad z_3=\frac{t}{4}, \quad z_4=\frac{t}{2}
\end{gathered}
$$

（1）对于（GFRP／CFRP）s 层合板：

$$
\begin{aligned}
\left(D_{11}\right)_{\mathrm{GC}} & =\frac{2}{3}\left\{\left(\bar{Q}_{11}\right)_{\mathrm{G}}\left[\left(-\frac{t}{4}\right)^3-\left(-\frac{t}{2}\right)^3\right]+\left(\bar{Q}_{11}\right)_{\mathrm{C}}\left[0^3-\left(-\frac{t}{4}\right)^3\right]\right\} \\
& =\frac{t^3}{3}\left[\frac{7}{32}\left(\bar{Q}_{11}\right)_{\mathrm{G}}+\frac{1}{32}\left(\bar{Q}_{11}\right)_{\mathrm{C}}\right]
\end{aligned}
$$

（2）对于（CFRP／GFRP）$)_s$ 层合板：

$$
\begin{aligned}
& \left(D_{11}\right)_{\mathrm{CG}}=\frac{t^3}{3}\left[\frac{7}{32}\left(\bar{Q}_{11}\right)_{\mathrm{C}}+\frac{1}{32}\left(\bar{Q}_{11}\right)_{\mathrm{G}}\right] \\
& \frac{\left(D_{11}\right)_{\mathrm{CG}}}{\left(D_{11}\right)_{\mathrm{GC}}}=\frac{7\left(\bar{Q}_{11}\right)_{\mathrm{C}}+\left(\bar{Q}_{11}\right)_{\mathrm{G}}}{7\left(\bar{Q}_{11}\right)_{\mathrm{G}}+\left(\bar{Q}_{11}\right)_{\mathrm{C}}}=1.74
\end{aligned}
$$


Question: $$求各向同性材料的H_i(i=\mathrm{I，II，III) }$$

平面应力条件下：

$$
H_{\mathrm{I}}=H_{\text {II }}=\frac{1}{E}, \quad H_{\text {II }}=\frac{1+\mu}{E}
$$

平面应变条件下：

$$
H_{\mathrm{I}}=H_{\mathrm{II}}=\frac{1-\mu^2}{E}, \quad H_{\mathrm{III}}=\frac{1+\mu}{E}
$$


Question: 某各向同性材料，$E_x=E_y=E, \mu_{x y}=\mu_{y x}=\mu, G_{x y}=G=E / 2(1+\mu)$ ，求其弯曲的基本方程。

\frac{\partial^4 w}{\partial x^4}+2 \frac{\partial^4 w}{\partial x^2 \partial y^2}+\frac{\partial^4 w}{\partial y^4}=-\frac{p}{D}


Question: 单向层合板材料原始性能参数为 $E_x=140 \mathrm{GPa}, E_y=10 \mathrm{GPa}, \mu_{x y}=0.3, G_{x y}=5 \mathrm{GPa}$ 。板厚 $t=5 \mathrm{~mm}, a=b=50 \mathrm{~cm}$ ，四周简支，受横向均布载荷 $p_0=25 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^2$ 作用。如果现在将厚度增加为$10 mm$ ，正方形板的边长改变为$100 cm$ ，结果相较原条件如何变化？

在原来条件下，\begin{aligned}
&\begin{aligned}
w & =-\frac{16 p_0}{\pi^6} \frac{a^4 b^4}{D_{11} b^4+2\left(D_{12}+2 D_{66}\right) a^2 b^2+D_{22} a^4} \sin \frac{\pi x}{a} \sin \frac{\pi y}{b} \\
& =-\frac{16 p_0}{\pi^6} \frac{a^4}{D_{11}+2\left(D_{12}+2 D_{66}\right)+D_{22}} \sin \frac{\pi x}{a} \sin \frac{\pi y}{b}
\end{aligned}
\end{aligned}
（1）对于单向层合板，板厚度为 $t$ ，则

$$
\begin{gathered}
\boldsymbol{D}=\frac{t^3}{12} \times \boldsymbol{Q}=\frac{t^3}{12}\left[\begin{array}{ccc}
140.9 & 3.0 & 0 \\
3.0 & 10.1 & 0 \\
0 & 0 & 5.0
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}
1467.7 & 31.3 & 0 \\
31.3 & 105.2 & 0 \\
0 & 0 & 52.1
\end{array}\right] \mathrm{kN} \cdot \mathrm{~mm} \\
w=-0.014 \sin \frac{\pi x}{a} \sin \frac{\pi y}{b}(\mathrm{~mm})
\end{gathered}
$$

板的中央处：

$$
\left[\begin{array}{c}
\varepsilon_x \\
\varepsilon_y \\
\gamma_{x y}
\end{array}\right]=z\left[\begin{array}{c}
K_x \\
K_y \\
K_{x y}
\end{array}\right]=-z\left[\begin{array}{c}
\partial w^2 / \partial x^2 \\
\partial w^2 / \partial y^2 \\
2 \partial w^2 / \partial x \partial y
\end{array}\right]_{x=\frac{a}{2}, y=\frac{b}{2}}=-z\left(10^{-6}\right)\left[\begin{array}{c}
0.55 \\
0.55 \\
0
\end{array}\right]
$$
上表面或下表面（ $z= \pm 2.5 \mathrm{~mm}$ ）应力绝对值最大，有

$$
\left[\begin{array}{c}
\sigma_x \\
\sigma_y \\
\tau_{x y}
\end{array}\right]=Q\left[\begin{array}{c}
\varepsilon_x \\
\varepsilon_y \\
0
\end{array}\right]=2.5 \times 10^{-3} \times\left[\begin{array}{ccc}
140.9 & 3.0 & 0 \\
3.0 & 10.1 & 0 \\
0 & 0 & 5.0
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
0.55 \\
0.55 \\
0
\end{array}\right] \mathrm{kPa}=\left[\begin{array}{c}
198 \\
18 \\
0
\end{array}\right] \mathrm{kPa}
$$

（2）对于 $\left(0^{\circ} / 90^{\circ}\right)_s$ 层合板，有
$$
\boldsymbol{D}=\frac{t^3}{12} \times \frac{7 \overline{\boldsymbol{Q}}_1+\overline{\boldsymbol{Q}}_2}{8}
$$
此处厚度增加到原来的$10$倍，弯曲刚度扩大到原来的$1000$倍，即
$$
\boldsymbol{D}=\left[\begin{array}{ccc}
1298.1 & 31.3 & 0 \\
31.3 & 275.3 & 0 \\
0 & 0 & 52.1
\end{array}\right] \mathrm{kN} \cdot \mathrm{~mm}
$$

计算表明，位移函数与单向层合板的情况相同，因此，应力也相同。若不是正方形板，则上述结论不成立。
（3）$\left(90^{\circ} / 0^{\circ}\right)_s$ 层合板与 $\left(0^{\circ} / 90^{\circ}\right)_s$ ，层合板的差别是，$D_{22}$ 与 $D_{11}$ 互换，位移函数结果也相同。

同理进行相关数据调整可以得到位移幅值增大一倍。


Question:
$\left(0^{\circ} / 90^{\circ}\right)$ 非对称正交层合板总厚度为 $t$ ，求温度变化 $\Delta T=-100{ }^{\circ} \mathrm{C}$ 时，不同线膨胀系数下层合板内的残余应力。设单层板性能参数如下：

$$
Q=\left[\begin{array}{ccc}
140.9 & 3.0 & 0 \\
3.0 & 10.1 & 0 \\
0 & 0 & 5.0
\end{array}\right] \mathrm{GPa}
$$

已知：$\alpha_1=-0.3 \times 10^{-6} \mathrm{~K}^{-1}, \alpha_2=28.0 \times 10^{-6} \mathrm{~K}^{-1}$

先参考$\alpha_1=0.02 \times 10^{-6} \mathrm{~K}^{-1}, \alpha_2=22.5 \times 10^{-6} \mathrm{~K}^{-1}$ 的情况
$$
\begin{aligned}
&\left(A_{11}+A_{12}\right) \varepsilon_x^0+B_{11} K_x=N_x^{\mathrm{T}}, \quad B_{11} \varepsilon_x^0+\left(D_{11}-D_{12}\right) K_x=M_x^{\mathrm{T}} \\
&\left(\frac{Q_{11}+Q_{22}+2 Q_{12}}{2}\right) t \varepsilon_x^0+\frac{t^2}{8}\left(-Q_{11}+Q_{22}\right) K_x \\
&= N_x^{\mathrm{T}}=\left[\left(Q_{11}+Q_{12}\right) \alpha_1+\left(Q_{12}+Q_{22}\right) \alpha_2\right] \times \frac{t}{2} \Delta T \\
&\left(\frac{-Q_{11}+Q_{22}}{8}\right) t^2 \varepsilon_x^0+\left(\frac{Q_{11}+Q_{22}-2 Q_{12}}{24}\right) t^3 K_x \\
&= M_x^{\mathrm{T}}=\left[\left(-Q_{11}+Q_{12}\right) \alpha_1+\left(-Q_{12}+Q_{22}\right) \alpha_2\right] \times \frac{t^2}{8} \Delta T
\end{aligned}
$$

将已知条件代人上面方程，得以下关系，并由此求出中面应变和曲率：

$$
\begin{aligned}
& 78500 \varepsilon_x^0+(-16350) t K_x=-14.88 \\
& (-16350) \varepsilon_x^0+(6042) t K_x=-1.96
\end{aligned}
$$

解得

$$
\varepsilon_x^0=-5.89 \times 10^{-4}, \quad t K_x=-1.92 \times 10^{-3}, \quad \varepsilon_x^0=\varepsilon_y^0, \quad K_x=-K_y
$$

求 $0^{\circ}$ 层残余应力。当 $z=0$ 时，
$$
\left[\begin{array}{l}
\sigma_x \\
\sigma_y
\end{array}\right]_{0^{\circ}}=10^3 \times\left[\begin{array}{cc}
140.9 & 3.0 \\
3.0 & 10.1
\end{array}\right]\left\{\begin{array}{l}
\varepsilon_x^0-\alpha_1 \Delta T \\
\varepsilon_x^0-\alpha_2 \Delta T
\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}
-77.73 \\
15.02
\end{array}\right\} \mathrm{MPa}
$$

当 $z=-t / 2$ 时，

$$
\left[\begin{array}{c}
\sigma_x \\
\sigma_y
\end{array}\right]_{0^{\circ}}=10^3 \times\left[\begin{array}{cc}
140.9 & 3.0 \\
3.0 & 10.1
\end{array}\right]\left\{\begin{array}{l}
\varepsilon_x^0-\frac{1}{2} t K_x-\alpha_1 \Delta T \\
\varepsilon_x^0+\frac{1}{2} t K_x-\alpha_2 \Delta T
\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}
54.66 \\
8.20
\end{array}\right\} \mathrm{MPa}
$$

在 $90^{\circ}$ 层内，产生相同的主轴方向残余应力，层合板残余应力构成自平衡力系。即，自下而上（ $z$ 分别为 $-t / 2,0,0, t / 2$ ），$x$ 方向的应力依次为 $54.66 \mathrm{MPa},-77.73 \mathrm{MPa}, 15.02 \mathrm{MPa}, 8.20 \mathrm{MPa}$ 。
在每个单层内应力沿高度线性变化，不难验证以下自平衡关系成立：

$$
\begin{aligned}
& \int_{-t / 2}^0\left(\sigma_x\right)_{0^{\circ}} \mathrm{d} z+\int_0^{t / 2}\left(\sigma_x\right)_{90^{\circ}} \mathrm{d} z=0 \\
& 78500 \varepsilon_x^0+(-16350) t K_x=-16.18 \\
& (-16350) \varepsilon_x^0+(6042) t K_x=-3.00
\end{aligned}
$$

解得

$$
\varepsilon_x^0=-7.09 \times 10^{-4}, \quad t K_x=-2.42 \times 10^{-3}, \quad \varepsilon_x^0=\varepsilon_y^0, \quad K_x=-K_y
$$

用同样的方法求 $0^{\circ}$ 层残余应力。当 $z=0$ 时，残余应力为

$$
\left[\begin{array}{c}
\sigma_x \\
\sigma_y
\end{array}\right]_{0^{\circ}}=\left\{\begin{array}{c}
-98.00 \\
18.89
\end{array}\right\} \mathrm{MPa}
$$
当 $z=-t / 2$ 时，残余应力为

$$
\left[\begin{array}{l}
\sigma_x \\
\sigma_y
\end{array}\right]_{0^{\circ}}=\left\{\begin{array}{l}
68.86 \\
10.30
\end{array}\right\} \mathrm{MPa}
$$

在 $90^{\circ}$ 层内，产生相同的主轴方向残余应力。当 $z$ 分别为 $-t / 2,0,0, t / 2$ 时，$x$方向的应力依次为 $68.86 \mathrm{MPa},-98.00 \mathrm{MPa}, 18.89 \mathrm{MPa}, 10.30 \mathrm{MPa}$ 。

$x$方向应力: $68.86 \mathrm{MPa}, -98.00 \mathrm{MPa}, 18.89 \mathrm{MPa}, 10.30 \mathrm{MPa}$


Question: 由碳纤维／环氧树脂（T300／5208）制成的正交誧设对称层合板 $\left[0_4 / 90_4\right]_{\mathrm{s}}$受 $N_x^*=50 \mathrm{MPa}, N_y^*=-50 \mathrm{MPa}, N_{x y}^*=M_x^*=M_y^*=M_{x y}^*=0$ 作用。按蔡－吴张量多项式准则计算最先一层失效强度。其中，已知各单层的正轴应力为 $0^{\circ}$ 单层中，$\sigma_1^{(0)}=95.93(\mathrm{MPa})，\sigma_2^{(0)}=-3.995(\mathrm{MPa})，\tau_{12}^{(0)}=0$ $90^{\circ}$ 单层中，$\sigma_1^{(90)}=-95.93(\mathrm{MPa})，\sigma_2^{(90)}=3.995(\mathrm{MPa})，\tau_{12}^{(90)}=0$


Question: 单向层合板材料性能参数为 $E_x=140 \mathrm{GPa}, E_y=10 \mathrm{GPa}, \mu_{x y}=0.3, G_{x y}=5 \mathrm{GPa}$ 。板厚 $t=5 \mathrm{~mm}, a=b=50 \mathrm{~cm}$ ，四周简支，受横向均布载荷 $p_0=25 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^2$ 作用，求板的最大位移。


Question: 考虑 $\left(0^{\circ} / 90^{\circ}\right)$ s 碳／环氧正交层合板。单层板性能参数为 $E_1=140$ $\mathrm{GPa}, E_2=10 \mathrm{GPa}, G_{12}=5 \mathrm{GPa}, \mu_{12}=0.3, X_{\mathrm{t}}=1500 \mathrm{GPa}, X_{\mathrm{c}}=1200 \mathrm{MPa}, Y_{\mathrm{t}}=50$ $\mathrm{MPa}, Y_{\mathrm{c}}=250 \mathrm{MPa}, S=70 \mathrm{MPa}, t_{\mathrm{p}}=0.125 \mathrm{~mm}$ ，受 $N_x=100 \mathrm{~N} / \mathrm{mm}$ 压缩作用。确定首层极限载荷。

首先可以借鉴拉伸情况下的计算，
由弹性性能参数求出单层板刚度系数矩阵，以及层合板的拉伸刚度矩阵和柔度矩阵分别为

$$
\begin{gathered}
\boldsymbol{Q}=\left[\begin{array}{ccc}
140.9 & 3.0 & 0 \\
3.0 & 10.1 & 0 \\
0 & 0 & 5.0
\end{array}\right] \mathrm{GPa} \\
\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}
37.8 & 1.5 & 0 \\
1.5 & 37.8 & 0 \\
0 & 0 & 2.5
\end{array}\right] \mathrm{kN} / \mathrm{mm} \\
\boldsymbol{a}=\left[\begin{array}{ccc}
0.0265 & -0.0011 & 0 \\
-0.0011 & 0.0265 & 0 \\
0 & 0 & 0.4000
\end{array}\right] \mathrm{mm} / \mathrm{kN}
\end{gathered}
$$

求得应变为

$$
\left[\begin{array}{c}
\varepsilon_x^0 \\
\varepsilon_y^0 \\
\gamma_{x y}^0
\end{array}\right]=\boldsymbol{a}\left[\begin{array}{c}
100 \\
0 \\
0
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
2650 \\
-110 \\
0
\end{array}\right] \times 10^{-6}
$$

$0^{\circ}$ 层主轴方向的应变就等于上面的应变， $90^{\circ}$ 层主轴方向的应变只需将上面的前两个应变分量互换就行。
求得 $0^{\circ}$ 层应力为

$$
\left[\begin{array}{l}
\sigma_1 \\
\sigma_2 \\
\tau_{12}
\end{array}\right]=\boldsymbol{Q}\left[\begin{array}{c}
2650 \\
-110 \\
0
\end{array}\right] \times 10^{-6}=\left[\begin{array}{c}
373 \\
7 \\
0
\end{array}\right] \mathrm{MPa}
$$

由最大应力准则求破坏指标：
$F．I．(1)=373 / 1500=0.25$
$F．I．(2)=7 / 50=0.14$
$F．I．(12)=0 / 70=0$
$90^{\circ}$ 层应力和破坏指标分别为

$$
\left[\begin{array}{l}
\sigma_1 \\
\sigma_2 \\
\tau_{12}
\end{array}\right]=Q\left[\begin{array}{c}
-110 \\
2650 \\
0
\end{array}\right] \times 10^{-6}=\left[\begin{array}{c}
-7 \\
26 \\
0
\end{array}\right] \mathrm{MPa}
$$

$F．I．(1)=7 / 1200=0.01$
$F．I．(2)=26 / 50=0.52$
$F．I．(12)=0 / 70=0$
从计算结果看出， $90^{\circ}$ 层横方向的破坏指标最大，但小于 1 。所以在 $N_x=100$ $\mathrm{N} / \mathrm{mm}$ 作用下，没有哪一层会发生破坏，层合板可以承担更大的载荷。由最大应力准则求得的破坏指标与载荷成比例，因此，为使最大的破坏指标刚好等于 1 ，将 $N_x$ 扩大 $1 / 0.52$ 倍，这样可求得首层破坏的临界载荷为

$$
N_{x c}=100 / 0.52 \mathrm{~N} / \mathrm{mm}=192 \mathrm{~N} / \mathrm{mm}
$$

整个层合板厚 $h=0.125 \times 4 \mathrm{~mm}=0.5 \mathrm{~mm}$ ，所以，破坏强度为

$$
\sigma_{x c}=N_{x c} / h=384 \mathrm{MPa}
$$

根据对称性，这里所指的首层破坏实际上是两个 $90^{\circ}$ 层同时破坏。
回归原题，
若 $N_x$ 改为压缩作用，则 $0^{\circ}$ 层应力将改变方向，大小不变，有

$$
\left[\begin{array}{l}
\sigma_1 \\
\sigma_2 \\
\tau_{12}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
-373 \\
-7 \\
0
\end{array}\right] \mathrm{MPa},\left[\begin{array}{c}
\text { F. I. } 1 \\
\text { F. I. } 2 \\
\text { F. I. } 12
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
373 / 1200=0.311 \\
7 / 250=0.028 \\
0
\end{array}\right]
$$

同样， $90^{\circ}$ 层应力也改变符号，有

$$
\left[\begin{array}{c}
\sigma_1 \\
\sigma_2 \\
\tau_{12}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
7 \\
-26 \\
0
\end{array}\right] \mathrm{MPa}, \quad\left[\begin{array}{c}
\text { F. I. } 1 \\
\text { F. I. } 2 \\
\text { F. I. } 12
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
7 / 1500=0.005 \\
26 / 250=0.104 \\
0
\end{array}\right]
$$

首层破坏的临界载荷为

$$
N_{x \mathrm{c}}=100 / 0.311 \mathrm{~N} / \mathrm{mm}=322 \mathrm{~N} / \mathrm{mm}
$$

$N_{x \mathrm{c}}=322 \mathrm{~N} / \mathrm{mm}$


Question: 考虑共有八层的 $\left(0^{\circ} / 45^{\circ} /-45^{\circ} / 90^{\circ}\right)_s$ 碳／环氧准各向同性板，受 $N_x$拉伸作用，应用最大应力准则和完全破坏假定，求该层合板的极限载荷。已知单层板性能参数为 $E_1=140 \mathrm{GPa}, E_2=10 \mathrm{GPa}, G_{12}=5 \mathrm{GPa}, \mu_{12}=0.3, X_{\mathrm{t}}=1500 \mathrm{MPa}$ ， $X_{\mathrm{c}}=1200 \mathrm{MPa}, Y_{\mathrm{t}}=50 \mathrm{MPa}, Y_{\mathrm{c}}=250 \mathrm{MPa}, S=70 \mathrm{MPa}, t_{\mathrm{p}}=0.125 \mathrm{~mm}$ 。

（1）求首层破坏极限载荷。
刚度矩阵：
$$
Q=\left[\begin{array}{ccc}
140.9 & 3.0 & 0 \\
3.0 & 10.1 & 0 \\
0 & 0 & 5.0
\end{array}\right] \mathrm{GPa}
$$
单层板变换刚度矩阵分别为
$$
\begin{aligned}
\overline{\boldsymbol{Q}}_{0^{\circ}} & =\left[\begin{array}{ccc}
140.9 & 3.0 & 0 \\
3.0 & 10.1 & 0 \\
0 & 0 & 5.0
\end{array}\right] \mathrm{GPa} \\
\overline{\boldsymbol{Q}}_{90^{\circ}} & =\left[\begin{array}{ccc}
10.1 & 3.0 & 0 \\
3.0 & 140.9 & 0 \\
0 & 0 & 5.0
\end{array}\right] \mathrm{GPa} \\
\overline{\boldsymbol{Q}}_{ \pm 45^{\circ}} & =\left[\begin{array}{ccc}
44.3 & 34.3 & \pm 32.7 \\
34.3 & 44.3 & \pm 32.7 \\
\pm 32.7 & \pm 32.7 & 36.3
\end{array}\right] \mathrm{GPa}
\end{aligned}
$$
层合板拉伸刚度矩阵和柔度矩阵分别为
$$
\begin{gathered}
\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}
59.9 & 18.7 & 0 \\
18.7 & 59.9 & 0 \\
0 & 0 & 20.7
\end{array}\right] \mathrm{kN} / \mathrm{mm} \\
\boldsymbol{a}=\left[\begin{array}{ccc}
0.0185 & -0.0058 & 0 \\
-0.0058 & 0.0185 & 0 \\
0 & 0 & 0.0483
\end{array}\right] \mathrm{mm} / \mathrm{kN}
\end{gathered}
$$
整个层合板厚度为 $8 \times 0.125 \mathrm{~mm}=1 \mathrm{~mm}$ ，所以初始弹性模量为
$$
E_x=1 /\left(t a_{11}\right)=54.1 \mathrm{GPa}
$$
假设 $N_x=100 \mathrm{~N} / \mathrm{mm}$ ，则层合板中面应变为
$$
\left[\begin{array}{c}
\boldsymbol{\varepsilon}_x^0 \\
\boldsymbol{\varepsilon}_y^0 \\
\gamma_{x y}^0
\end{array}\right]=
\left[\begin{array}{c}
1850 \\
-580 \\
0
\end{array}\right] \times 10^{-6}
$$
$0^{\circ}$ 层（第一和第八层）主轴方向应变、应力及破坏指标分别为
$$
\left[\begin{array}{c}
\varepsilon_1 \\
\varepsilon_2 \\
\gamma_{12}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
1850 \\
-580 \\
0
\end{array}\right] \times 10^{-6}, \quad\left[\begin{array}{c}
\sigma_1 \\
\sigma_2 \\
\tau_{12}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
259 \\
-0.3 \\
0
\end{array}\right] \mathrm{MPa}
$$
$F．I．(1)=259 / 1500=0.17$
$F．I．(2)=0.3 / 250=0.01$
$F．I．(12)=0$
同理求得$45^{\circ}$和$90^{\circ}$ 层的主轴方向应变、应力及破坏指标
$N_x=100 \mathrm{~N} / \mathrm{mm}$ 下各单层应力和破坏指标
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|l|}
\hline 层 号 & $\theta /\left(^{\circ}\right)$ & $\sigma_1$ & $\sigma_2$ & $\tau_{12}$ & F．I．（1） & F．I．（2） & F．I．（12） \\
\hline 一 & 0 & 259 & －0．3 & 0 & 0.17 & 0.01 & 0 \\
\hline 二 & 45 & 91 & 8 & －12 & 0.06 & 0.16 & 0.17 \\
\hline 三 & －45 & 91 & 8 & 12 & 0.06 & 0.16 & 0.17 \\
\hline 四 & 90 & －76 & 17 & 0 & 0.06 & 0.34 & 0 \\
\hline
\end{tabular}
从表可知，最大破坏指标是 $0.34$ ，对应 $90^{\circ}$ 层横向拉伸，所以，首层破坏载荷为
$$
N_x=100 / 0.34 \mathrm{~N} / \mathrm{mm}=294 \mathrm{~N} / \mathrm{mm}
$$
（2）同理求第二层破坏极限载荷。
最大破坏指标是 $0.81$ 。因此，在 $N_x=294 \mathrm{~N} / \mathrm{mm}$ 的载荷作用下，尚未发生第二层破坏，从而求得第二层破坏的临界载荷为
表 $N_x=294 \mathrm{~N} / \mathrm{mm}, 90^{\circ}$ 层已破坏时各单层应力与破坏指标
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|l|}
\hline 层 号 & $\theta /\left({ }^{\circ}\right)$ & $\sigma_1$ & $\sigma_2$ & $\tau_{12}$ & F．I．（1） & F．I．（2） & F．I．（12） \\
\hline 一 & 0 & 918 & －29 & 0 & 0.61 & 0.12 & 0 \\
\hline 二 & 45 & 131 & 12 & －57 & 0.09 & 0.24 & 0.81 \\
\hline 三 & －45 & 131 & 12 & 57 & 0.09 & 0.24 & 0.81 \\
\hline 四 & 90 & － & － & － & － & － & － \\
\hline
\end{tabular}
$$
N_x=294 / 0.81 \mathrm{~N} / \mathrm{mm}=363 \mathrm{~N} / \mathrm{mm}
$$
在此载荷作用下，实际上 $45^{\circ}$ 层和 $-45^{\circ}$ 层是同时发生破坏（剪切）的。
（3）求第三层破坏极限载荷。
令 $45^{\circ}$ 层和 $-45^{\circ}$ 层刚度为零，重新计算层合板的刚度矩阵
在保持 $N_x=363 \mathrm{~N} / \mathrm{mm}$ 不变的条件下，由于载荷的重新分布，层合板在 $x$ 方向上的应变由 $0.82 \%$ 增大到 $1.04 \%$ 。计算余下 $0^{\circ}$ 层的应力分量和破坏指标，结果如下：
$$
\left[\begin{array}{c}
\sigma_1 \\
\sigma_2 \\
\tau_{12}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
1453 \\
-3 \\
0
\end{array}\right] \mathrm{MPa},\left[\begin{array}{c}
\text { F. I. (1) } \\
\text { F. I. (2) } \\
\text { F. I. (12) }
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
0.97 \\
0.01 \\
0
\end{array}\right]
$$
求得发生最终层（ $0^{\circ}$ 层）破坏的极限载荷以及极限强度为
$$
N_x=363 / 0.97 \mathrm{~N} / \mathrm{mm}=374 \mathrm{~N} / \mathrm{mm}$$
$$
\sigma_x=N_x / t=374 \mathrm{MPa}$$

极限载荷 $N_x=374 \mathrm{~N} / \mathrm{mm}$，极限强度 $\sigma_x=374 \mathrm{MPa}$


Question: 试确定玻璃纤维／环氧树脂复合材料单层板的弹性常数 $E_2$ 和 $G_{12}$ 。测得单向玻璃纤维复合材料的 $v_1$ 为 $70 \%$ 。已知玻璃纤维为圆形截面，呈方形排列，玻璃纤维和环氧树脂的性能分别为：$E_{\mathrm{l}}=71.5 \mathrm{GPa}, \nu_{\mathrm{f}}=0.22, G_{\mathrm{F}}=29.3 \mathrm{GPa} ; E_{\mathrm{m}}=3.4 \mathrm{GPa}, \nu_{\mathrm{m}}=0.30, G_{\mathrm{m}}=1.31 \mathrm{GPa}$ 。


Question:
通过表1的DSC数据：\(\Delta H_{21}=140J·g^{-1}\)，\(\Delta H^{0}(T_{m}^{0}=418K)=293J·g^{-1}\)，\(T_{1}=370K\)，计算某聚合物试样的质量结晶度。计算过程选用Wunderlich和Baur（1970）的数据，根据总焓方法进行计算。

### 表1
|温度/K|\(C_{pc}/(cal·mol^{-1}·K^{-1})\)|\(C_{pa}/(cal·mol^{-1}·K^{-1})\)|
| ---- | ---- | ---- |
|310|5.40|7.68|
|330|5.89|7.84|
|350|6.38|7.99|
|370|7.02|8.15|
|380|7.37|8.23|
|390|7.72|8.31|
|400|8.14|8.38|
|410|8.63|8.46|
|420| - |8.54|

每摩尔重复单元（\(14g/mol\)）。


Question: 等摩尔的二元醇和二元酸缩聚，另加二元酸（摩尔分数）1.5%醋酸，\(p = 0.995\)或0.999时，聚酯的聚合度是多少？加1%醋酸时，结果如何？（醋酸摩尔分数以二元酸计）


Question: 无规聚丙烯在环己烷或甲苯中，\(30^{\circ}C\)时测得的空间位阻参数（即刚性因子）\(\sigma = 1.76\)，试计算其等效自由连接链的链段长度\(b\)（已知碳 - 碳键长为\(0.154nm\)，键角为\(109.5^{\circ}\)）。


Question: 设某种聚合物（$T_g = 320\ K$，$\rho_0 = 1×10^{3}\ kg\cdot m^{-3}$）在$400\ K$时测得其黏度为$10^{5}\ Pa\cdot s$。今用足够量的丙二醇（$T_g = 160\ K$，$\rho_1 = 1×10^{3}\ kg\cdot m^{-3}$）充分溶胀，使聚合物的体积分数占溶胀体的$0.70$，则此增塑聚合物在同一温度（$400\ K$）下的黏度为多大？设聚合物与增塑剂的自由体积有线性加和性。


Question: 在稀溶液中已知分子量的情况下，特性粘数\([\eta]\)可以用来度量线型聚合物的链段尺寸。Fetters等在1994年列出链的均方末端距的数值，PE为\(\overline{h^{2}} = 1.25M\)，PS为\(0.434M\)，单位为\(\mathring{A}^{2}/(g/mol)\)。\(M = 100kg/mol\)，请求出\([\eta](PE)/[\eta](PS)\)，并指出二者中哪一种重叠浓度较低，其值是多少。


Question: 邻苯二甲酸、乙二醇、丙三醇三种原料进行缩聚反应，三种原料配料时物质的量之比为邻苯二甲酸∶乙二醇∶丙三醇 = 1∶0.625∶0.25。求该体系支化系数$\alpha = 0.35$时的反应程度$p$，此时是否达到凝胶点？若未达到时，计算缩聚产物的数均聚合度。


Question:
写出下列单体经缩聚反应形成的聚酯结构。(2)、(3)、(4) 三例中聚合物的结构与反应物相对量有无关系，如果有关系，请说明。
(1) \(HORCOOH\)
(2) \(HOOCRCOOH + HOR'OH\)
(3) \(HOOCRCOOH + R''(OH)_3\)
(4) \(HOOCRCOOH + HOR'OH + R''(OH)_3\)

(1) 得到以 \([-ORCO-]\) 为重复单元的线型分子。
(2) 等物质的量时得到以 \([-OCRCOOR'-]\) 为重复单元的线型分子，端基分别为羟基和羧基。不等物质的量时其所得产物数均聚合度\(\overline{X}_n\)与两官能团物质的量之比\(r(r \leq 1)\)和反应程度\(p\)之间有\(\overline{X}_n=\frac{1 + r}{1 + r - 2rp}\)关系。
(3) 设反应物二酸和三醇的相对物质的量之比为\(x\)
① 当\(x \leq \frac{3}{2}\)时，\(r = \frac{2}{3}x (r \leq 1)\) 由公式\(p_c=\frac{1}{[r + rp(f - 2)]^{1/2}}\)，得\(p_c=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{x}}\)。
令\(p_c \geq 1\)，则\(x \leq 3/4\)时，所得产物是端基主要为羟基得非交联支化分子。
② 当\(x \geq \frac{3}{2}\)时，\(r = \frac{3}{2}x (r \leq 1)\) 同理，得\(p_c=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{3}}\)，令\(p_c \geq 1\)，则\(x \geq 3\)，即当\(x \geq 3\)时，所得产物是端基主要为羧基的非交联支化分子。
③ 综合①和②得\(3/4 < x < 3\)时，所得产物是交联体型分子。
**注明**：此题按Flory法计算凝胶点，也可以按照Carothers法计算凝胶点
设反应物二酸和三醇的相对物质的量之比为\(x:y\)，假设羧基过量，表明\(2x > 3y\)，则有\(\overline{f}=\frac{6y}{x + y}\)，\(\overline{f}>2\)，可解得：\(\frac{3}{2}y < x < 2y\)，在\(p_c=\frac{x + y}{3y}\)以上可以得到体型聚合物，在\(x > 2y\)时，所得产物是端基主要为羧基的支化分子，\(x = 2y\)时，\(\overline{f}=2\)，即\(p_c = 1\)才可能交联成体型聚合物。
假设羟基过量，表明\(2x < 3y\)，则有\(\overline{f}=\frac{4x}{x + y}\)，\(\overline{f}>2\)，可解得：\(y < x < \frac{3}{2}y\)，在\(p_c=\frac{x + y}{2x}\)以上可以得到体型聚合物，在\(x < y\)时，所得产物是端基主要为羟基的支化分子，\(x = y\)时，\(\overline{f}=2\)，即\(p_c = 1\)才可能交联成体型聚合物。
如果羟基和羧基数目相等，则\(x = \frac{3}{2}y\)，\(\overline{f}=2.4\)，在\(p_c = 0.833\)以上可以得到体型聚合物。
(4) 设二酸:二醇:三醇（物质的量之比）\(=x:y:1\)，则
① \(\frac{2x}{3 + 2y} \leq 1\)时  （1）
\(\overline{f}=\frac{4x}{x + y + 1}\)由Carothers方程\(p_c=\frac{2}{\overline{f}}\)，得\(p_c=\frac{x + y + 1}{2x}\)
令\(p_c \geq 1\)，则\(\frac{x + y + 1}{2x} \geq 1\)  （2）
联立式(1)，式(2) 得：\(x - y \leq 1\)  （3）
即当\(x - y \leq 1\)时，所得产物端基主要为羟基的支化分子。
② \(\frac{2x}{3 + 2x} \geq 1\)时  （4）
\(\overline{f}=\frac{2(2y + 3)}{x + y + 1}\)，同理\(p_0 = p_c=\frac{x + y + 1}{2y + 3}\)
令\(p_c \geq 1\)，则\(\frac{x + y + 1}{2y + 3} \geq 1\)  （5）
联立式(4)，式(5) 得：\(x - y \geq 2\)  （6）
即当\(x - y \geq 2\)时，所得产物是端基主要为羧基的支化分子。
③ 联立式(3)，式(6) 得知，当\(1 < x - y < 2\)时，所得产物为交联的体型分子。
**注明**：此题按Carothers法计算凝胶点，按照Flory法计算凝胶点问题非常复杂。

以 \([-ORCO-]\) 为重复单元的线型分子。

与反应物相对量有关系。等物质的量时，以 \([-OCRCOOR'-]\) 为重复单元的线型分子；不等物质的量时，数均聚合度\(\overline{X}_n\)与两官能团物质的量之比\(r(r \leq 1)\)和反应程度\(p\)的关系为\(\overline{X}_n=\frac{1 + r}{1 + r - 2rp}\) 。

与反应物相对量有关系。设二酸和三醇物质的量之比为\(x\)。当 \(x \leq \frac{3}{4}\) 或 \(x \geq 3\) 时，生成非交联支化分子；当 \(\frac{3}{4} < x < 3\) 时，生成交联体型分子。

与反应物相对量有关系。设二酸:二醇:三醇物质的量之比为\(x:y:1\)。当 \(x - y \leq 1\) 或 \(x - y \geq 2\) 时，生成支化分子；当 \(1 < x - y < 2\) 时，生成交联的体型分子。


Question: 某一耐热性芳族聚酰胺数均分子量为23922，聚合物经水解后，得38.91%（质量分数）对苯二胺、59.81%对苯二甲酸、0.22%苯甲酸。试写出分子式，计算聚合度和反应程度。如果苯甲酸加倍，试计算相同反应程度时的聚合度。


Question:
\(2.0mol·L^{-1}\)苯乙烯的二氯乙烷溶液，于\(25^{\circ}C\)时在\(4.0×10^{-4}mol·L^{-1}\)硫酸存在下聚合，计算开始时的聚合度。假如单体溶液中含有浓度为\(8.0×10^{-5}mol·L^{-1}\)的异丙苯，那么聚苯乙烯的聚合度是多少？为便于计算，可利用下列数据。

|参数|数值|
| ---- | ---- |
|\(k_{p} (L·mol^{-1}·s^{-1})\)| \(7.6\)|
|\(k_{t1} (s^{-1})\) 自发终止| \(4.9×10^{-2}\)|
|\(k_{t2} (s^{-1})\) 与反离子结合终止| \(6.7×10^{-3}\)|
|\(k_{tr,M} (L·mol^{-1}·s^{-1})\)| \(1.2×10^{-1}\)|
|\(C_{s}\)（\(25^{\circ}C\)，在二氯乙烷中用异丙苯作转移剂）| \(4.5×10^{-2}\)|


Question:
在 351.15 K 时，用焦炭吸附 $\mathrm{NH}_3$ 气测得如下数据，设 $V^{\mathrm{a}} \sim p$ 关系符合 $V^{\mathrm{a}}=k p^n$ 方程。
\begin{tabular}{cccccccc}
\hline $\mathrm{p} / \mathrm{kPa}$ & 0.7224 & 1.307 & 1.723 & 2.898 & 3.931 & 7.528 & 10.102 \\
\hline$V^{\mathrm{a}} / \mathrm{dm}^3 \cdot \mathrm{~kg}^{-1}$ & 10.2 & 14.7 & 17.3 & 23.7 & 128.4 & 41.9 & 50.1 \\
\hline
\end{tabular}
试求方程 $V^{\mathrm{a}}=k p^n$ 中 $k$ 及 $n$ 的数值。

将方程 $V^{\mathrm{a}}=k p^n$ 两边取对数得：
$\ln \frac{V^{\mathrm{a}}}{\mathrm{dm} ·\mathrm{kg}^{-1}}=n \ln \frac{p}{\mathrm{kPa}}+\ln \frac{h_k}{\mathrm{dm} \cdot \mathrm{kg}^{-1}}$
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|l|}
\hline $\ln (\mathrm{p} / \mathrm{kPa})$ & －0．3252 & 0.2677 & 0.5441 & 1.0640 & 1.3689 & 2.0186 & 2.3127 \\
\hline $\ln \left(V^{\mathrm{a}} / \mathrm{dm}^3 \cdot \mathrm{~kg}^{-1}\right)$ & 2.3223 & 2.6878 & 2.8507 & 3.1655 & 2.3464 & 3.7353 & 3.9140 \\
\hline
\end{tabular}
$\ln \left(V^{\mathrm{a}} / \mathrm{dm} \cdot \mathrm{kg}^{-1}\right) \sim \ln (\mathrm{p} / \mathrm{kPa})$ 作图从而可求 $k$ 及 $n$ 的数值。
即
$\ln \frac{V^\mathrm{a}}{\mathbf{d m} \cdot \mathbf{k g}^{-1}}=\mathbf{0 . 6 0 1 9} \ln \frac{p}{\mathbf{k P a}}+2.5226$
$$
\begin{gathered}
n=0.6019 \\
\ln \frac{k}{\mathrm{dm}^3 \cdot \mathrm{~kg}^{-1}}=2.5226, \text { 即: } k=12.46 \mathrm{dm}^3 \cdot \mathrm{~kg}^{-1}
\end{gathered}
$$

k=12.46 \mathrm{dm}^3 \cdot \mathrm{kg}^{-1}


Question:
$\mathrm{RSO}_3 \mathrm{H}$ 是强酸， R 表示长链的烃基。 298 K 时，此强酸水溶液的表面张力 $\gamma$ 与浓度 $c$ 的关系为 $\gamma=\gamma_0-b\left(\frac{c}{c^{\ominus}}\right)^2$ 。
（1）请导出吸附膜的状态方程；（2）简要解释为什么 $\gamma$ 不与 $c$ 而与 $c^2$ 呈线性关系。

（1）由题给关系式可得
$$
\frac{\mathrm{d} \gamma}{\mathrm{~d}\left(c / c^{\ominus}\right)}=-2 b \frac{c}{c^{\ominus}}
$$
设活度因子为 1 ，由 Gibbs 吸附等温式得
$$
\Gamma_2=-\frac{a}{R T} \frac{\mathrm{~d} \gamma}{\mathrm{~d} a}=-\frac{c / c^{\ominus}}{R T} \frac{\mathrm{~d} \gamma}{\mathrm{~d}\left(c / c^{\ominus}\right)}=\frac{c / c^{\ominus}}{R T} \cdot 2 b \frac{c}{c^{\ominus}}=\frac{2 b}{R T}\left(\frac{c}{c^{\ominus}}\right)^2=\frac{2\left(\gamma_0-\gamma\right)}{R T}
$$
设一个分子所占面积为 $A_{\mathrm{m}}$ ，表面压为 $\pi$ ，则可推出吸附膜的状态方程
$$
\begin{gathered}
\Gamma_2 \approx \frac{1}{A_m L}, \quad \pi=\gamma_0-\gamma \\
\frac{1}{A_{\mathrm{m}} L}=\frac{2 \pi}{R T} \\
\pi A_{\mathrm{m}}=\frac{1}{2} k_{\mathrm{B}} T
\end{gathered}
$$

（2）当该强酸达到解离平衡时，有
$$
K_{\mathrm{a}}=\frac{\left(c_{\mathrm{H}^{+}} / c^{\ominus}\right)\left(c_{\mathrm{RSO}_3^{-}} / c^{\ominus}\right)}{\left(c_{\mathrm{RSO}_3 \mathrm{H}} / c^{\ominus}\right)}
$$
因强酸几乎完全解离，没有解离的部分浓度极小，
$$
\begin{gathered}
c_{\mathrm{H}^{+}}=c_{\mathrm{RSO}_3^{-}} \approx c \\
c_{\mathrm{RSO}_3 \mathrm{H}}=\frac{1}{c^{\Theta} K_{\mathrm{a}}} c^2
\end{gathered}
$$
如果没有解离的酸为表面吸附的主要成分，则当 $\gamma$ 与 $c_{\mathrm{RSO}}{ }_3 \mathrm{H}$ 呈线性关系时，表现为 $\gamma$ 与 $c^2$ 呈线性关系。


Question:
某多相催化反应 $\mathrm{C}_2 \mathrm{H}_6+\mathrm{H}_2 \stackrel{\mathrm{Ni} / \mathrm{SiO}_2}{\rightleftharpoons} 2 \mathrm{CH}_4$ ，在 464 K 时，测得数据如下：
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c}
\hline$p_{\mathrm{H}_2} / \mathrm{kPa}$ & 10 & 20 & 40 & 20 & 20 & 20 \\
\hline$p_{\mathrm{C}_2 \mathrm{H}_6} / \mathrm{kPa}$ & 3.0 & 3.0 & 3.0 & 1.0 & 3.0 & 10 \\
\hline$r / r_0$ & 3.10 & 1.00 & 0.20 & 0.29 & 1.00 & 2.84 \\
\hline
\end{tabular}
$r$ 代表反应速率，$r_0$ 是当 $p_{\mathrm{H}_2}=20 \mathrm{kPa}$ 和 $p_{\mathrm{C}_2 \mathrm{H}_6}=3.0 \mathrm{kPa}$ 时的反应速率。（1）若反应速率公式可表示为 $r=k p_{H_2}^\alpha p \stackrel{\beta}{}_{C_2H_6}$ ，根据以上数据求出 $\alpha$ 和 $\beta$ 的值。
又反应历程可表示为
$$
\mathrm{C}_2 \mathrm{H}_6(\mathrm{~g})+[\mathrm{K}] \underset{k_{-1}}{\stackrel{k_1}{\rightleftharpoons}}\left[\mathrm{C}_2 \mathrm{~K}\right]+3 \mathrm{H}_2(\mathrm{~g}) \quad \text { 快速平衡 }
$$
\begin{aligned}
&\begin{gathered}
\mathrm{CH}(\mathrm{~g})+\frac{3}{2} \mathrm{H}_2(\mathrm{~g}) \xrightarrow{k_3} \mathrm{CH}_4(\mathrm{~g}) \quad \text { 快反应 }
\end{gathered}\\
&\text { 式中，}[\mathrm{K}] \text { 为催化剂的活性中心。 }
\end{aligned}
这里漏了决速步方程，请补全

（1）当 $p \mathrm{c}_2 \mathrm{H}_6=p_\mathrm{C_2H_6，0}=3.0 \mathrm{kPa}$ 时，
$$
\begin{gathered}
\frac{r}{r_0}=\frac{k p_{\mathrm{H}_2}^\alpha p_{C_2 \mathrm{H}_6}^\beta}{k p_{\mathrm{H}_2, 0}^\alpha p_{\mathrm{C}_2 \mathrm{H}_{6,0}}^\beta}=\left(\frac{p_{\mathrm{H}_2}}{p_{\mathrm{H}_2, 0}}\right)^\alpha \\
\ln \frac{r}{r_0}=\alpha \ln \left(\frac{p_{\mathrm{H}_2}}{p_{\mathrm{H}_2, 0}}\right)
\end{gathered}
$$
$\ln \left(r / r_0\right) \sim \ln \left(p_{\mathrm{H}_2} / p_{\mathrm{H}_2,0}\right)$ 为直线关系，利用题给前三组数据计算出 $\ln \left(r / r_0\right)$ 和 $\ln \left(p_{\mathrm{H}_2} / p_{\mathrm{H}_2,0}\right)$ 的值如下：
\begin{tabular}{c|c|c|c}
\hline $\ln \left(p_{\mathrm{H}_2} / p_{\mathrm{H}_2, 0}\right)$ & -0.6931 & 0.000 & 0.6931 \\
\hline $\ln \left(r / r_0\right)$ & 1.131 & 0.000 & -1.609 \\
\hline
\end{tabular}
以上述数据作线性拟合，得
$$
\begin{aligned}
\ln \frac{r}{r_0}= & -1.98 \ln \left(\frac{p_{\mathrm{H}_2}}{p_{\mathrm{H}_2, 0}}\right)-0.153 \\
& \text { 斜率 }=\alpha \approx-2
\end{aligned}
$$
同理，当 $p_{\mathrm{H}_2}=p_{\mathrm{H}_2, 0}=20 \mathrm{kPa}$ 时，有
$$
\ln \frac{r}{r_0}=\beta \ln \left(\frac{P \mathrm{c}_2 \mathrm{H}_6}{P \mathrm{c}_2 \mathrm{H}_6, 0}\right)
$$
利用题给后三组数据计算出 $\ln \left(r / r_0\right)$ 和 $\ln \left(p_{\mathrm{C}_2 \mathrm{H}_6} / p_{\mathrm{C}_2 \mathrm{H}_6, 0}\right)$ 的值如下：
\begin{tabular}{c|c|c|c}
\hline $\ln \left(\not p_{\mathrm{C}_2 \mathrm{H}_6} / \not p_{\mathrm{C}_2 \mathrm{H}_6, 0}\right)$ & -1.099 & 0.000 & 1.204 \\
\hline $\ln \left(r / r_0\right)$ & -1.238 & 0.000 & 1.044 \\
\hline
\end{tabular}
以上述数据作线性拟合，得
$$
\begin{gathered}
\ln \frac{r}{r_0}=0.989 \ln \left(\frac{p_{\mathrm{C}_2 \mathrm{H}_6}}{p_{\mathrm{C}_2 \mathrm{H}_6 \cdot 0}}\right)-0.099 \\
\text { 斜率 }=\beta \approx 1 \\
r=k \frac{p_{\mathrm{C}_2 \mathrm{H}_6}}{p_{\mathrm{H}_2}^2}
\end{gathered}
$$
（2）
推测$\left[\mathrm{C}_2 \mathrm{~K}\right]+\mathrm{H}_2(\mathrm{~g}) \xrightarrow{k_2} 2 \mathrm{CH}(\mathrm{~g})+[\mathrm{K}]$\text { 决速步 }
由决速步可得
$$
r=k_2 p_{\mathrm{H}_2} \theta_{\mathrm{C}_2 \mathrm{~K}}
$$
由于第二步是决速步，则第一步能达到吸附平衡，有
故
$$
\begin{gathered}
k_1 p_{\mathrm{C}_2 \mathrm{H}_6}=k_{-1} p_{\mathrm{H}_2}^3 \theta_{\mathrm{C}_2 \mathrm{~K}}, \quad \theta_{\mathrm{C}_2 \mathrm{~K}}=\frac{k_1 p_{\mathrm{C}_2 \mathrm{H}_6}}{k_{-1} p_{\mathrm{H}_2}^3} \\
r=k_2 p_{\mathrm{H}_2} \frac{k_1 p_{\mathrm{C}_2 \mathrm{H}_6}}{k_{-1} p_{\mathrm{H}_2}^3}=k \frac{p_{\mathrm{C}_2 \mathrm{H}_5}}{p^2 \mathrm{H}_2} \quad\left(k=k_2 k_1 / k_{-1}\right)
\end{gathered}
$$
与实验结果完全一致，反应历程正确。

$\left[\mathrm{C}_2\mathrm{~K}\right]+\mathrm{H}_2(\mathrm{~g}) \xrightarrow{k_2} 2 \mathrm{CH}(\mathrm{~g})+[\mathrm{K}]\text { 决速步 }


Question: 有一条很长的小型河流，河道宽3.0m，水深2.0m，在某一断商突然发生污染事故,有12kg的有毒污染物在很短时间内进人,扩散系数为80cm^2/s请问 15min后离事故断面 20m处的浓度值多大?


Question: 一条顺直河流，河中心有一连续排污口。沿河岸往下游采水样检测，在下游180m处污染物到达岸边。已知河宽10m，水深4.0m，河水流速2.5m/s，河道底坡比降0.0003。不考虑污染物质降解作用。问此河流横向扩散系数αy是多少？


Question: 有一非常宽阔的水域，水流较为均匀，流速为1.5m/s，水深2.5m，在该水域某处存在一连续排放源，排污浓度为300mg/L，水面比降为0.0002，Ey=0.4hu*。不考虑降解作用，问如果下游500m处污染物浓度不得大于10mg/L，则排污口的污染物排放量不得大于多少？


Question: 某原水总硬度1.6mmol/L，碱度HCO3－=2.58 mmol /L， Mg2+ 1.0mmol/ L，Na+ 0.03mmol/ L，SO42－0.125mmol/ L，Cl－0.4mmol/ L，CO225.8mg/L，试计算，水中碳酸盐硬度和非碳酸盐硬度。若采用石灰－苏打法进行软化，试求石灰、苏打用量（mmol/L）。（过剩量均取0.1 mmol /L）

碳酸盐硬度：1.29 mmol/L；非碳酸盐硬度：0.31 mmol/L
石灰用量：2.98 mmol/L；苏打用量：0.41 mmol/L


Question: 定义在 \(\mathbb{R}\) 上的奇函数 \(f(x)\) 满足 \(f(x)+f(2 - x)=0\)，当 \(x\in(-1,1)\) 时，\(f(x)=\log_2(\frac{a}{1 - x})+b\)，则 \(\sum_{k = 1}^{2023}f(\frac{k}{3}) =\)?


Question: 考虑\hat{su}(6)的diagonal modular invariant以及su(3)\subset su(6)的 branching rule: (0,0,0,0,1)\to (2,0); (0,0,0,1,0)\to (2,1), (0,0,1,0,0)\to (3,0)\oplus (0,3)以及它们的共轭构造\hat{su}(3)_5的nondiagonal modular invariant。请给出详细推导过程和具体结论。

level5的\hat{su}(3)非对角模不变量可以从\hat{su}(3)_5 \subset \hat{su}(6)_1的conformal embedding得到，且在ADE分类的Exceptional分类下只有两种。


Question: 一种很自然的假设是蘑菇在生长过程中要保持水分流失最小化．因此，它们的表面积也应该最小以减少水分蒸发量．根据这个假设，我们通过求解如下简单数学问题寻找蘑菇的最佳形状．然后我们将其与实际蘑菇作比较．考虑在 $(x, y)$ 平面的连接固定点 $P_1=\left(x_1, y_1\right)$和 $P_2=\left(x_2, y_2\right)$ 的曲线 $y=y(x)$ ．我们绕 $y$ 轴旋转曲线以获得表面．求解出在哪个曲线使其旋转的表面积最小


Question:
已知某锆石样品的分析结果如下：
样品成分：
铀含量：500 ppm（质量百分比）
铅含量：115 ppm（质量百分比）

锆石中铅的同位素组成（原子百分比）：
²⁰⁴Pb：0.5%
²⁰⁶Pb：85.2%
²⁰⁷Pb：12.8%
²⁰⁸Pb：1.5%

普通铅的同位素组成（原子百分比）：
²⁰⁴Pb：1.4%
²⁰⁶Pb：24.1%
²⁰⁷Pb：22.1%
²⁰⁸Pb：52.4%

已知常数：
原子量：²⁰⁴Pb = 203.973，²⁰⁶Pb = 205.974，²⁰⁷Pb = 206.976，²⁰⁸Pb = 207.977
原子量：²³⁵U = 235.044，²³⁸U = 238.051
²³⁸U/²³⁵U = 137.818（现代比值）
λ₂₃₈ = 1.55125 × 10⁻¹⁰ a⁻¹
λ₂₃₅ = 9.8485 × 10⁻¹⁰ a⁻¹

要求：计算该锆石的²⁰⁶Pb/²³⁸U年龄（t₂₀₆）和²⁰⁷Pb/²³⁵U年龄（t₂₀₇）


Question: 在构造地质学中，构造尺度的划分一半分为几级，分别是什么？

一般分为巨型、大型、中型、小型、微型和超微型六级


Question:
某独立柱基底面为方形，l = b = 4.0 m，作用在柱基上的荷载为 F = 1536 kN，基础埋置深度 d = 1.0 m，埋深范围内杂填土重度 γ = 16 kN/m³，其下为粘性土层，厚 h = 1.2 m，天然重度 γ = 20 kN/m³，若已知粘土层上下点的附加应力系数分别为 1.000 和 0.8916，试求基础下粘性土沉降量。
侧限压缩试验 e-p 关系数据：
压力 p（kPa）：0、50、100、200
对应孔隙比 e：0.89、0.86、0.84、0.81


Question: A web application uses a Redis cache to store session data. During performance testing, you observe that the cache hit rate decreases significantly as the number of concurrent users increases. Propose and explain two strategies to improve the cache hit rate under high concurrency conditions.

To improve the cache hit rate under high concurrency conditions:\n1. Increase the cache size: By increasing the Redis cache size, more session data can be stored in memory, reducing the likelihood of evictions and thus improving the hit rate.\n2. Implement cache partitioning: Partitioning the cache can help distribute the load across multiple instances or shards, ensuring that each user's session data is more likely to be found within its designated partition, thereby improving the overall hit rate.

Increase the cache size
Implement cache partitioning