Question: 沿$z$轴放置的一无线长直导线，载有电流\[ I(t) = \begin{cases} 0, & t \leq 0 \\ I_0, & t > 0 \end{cases}\] ，即一恒定电流$I_0$在$t=0$时刻突然出现。求该导线在$s$处产生的磁场$\mathbf{B}$。

导线沿着 \( z \) 轴放置,在 \( P \) 点处的推迟矢势是 \[ A(s,t) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{I(t_r)}{t} \, dz \] \( t < s/c \) 时，“信息”还没有到达 \( P \) 点，矢势为零。
 \( t > s/c \) 时，仅在范围 \[ |z| \leq \sqrt{(ct)^2 - s^2} \] 内的导线部分有贡献（在这个范围外，\( t_r \) 是负值，故 \( I(t_r) = 0 \)）
 \[ A(s,t) = \left( \frac{\mu_0 I_0 z}{4\pi} \right) \int_{0}^{\sqrt{(ct)^2 - s^2}} \frac{dz}{\sqrt{s^2 + z^2}} \] \[ = \frac{\mu_0 I_0 z}{2\pi} \ln \left( \sqrt{s^2 + z^2} + z \right) \bigg|_0^{\sqrt{(ct)^2 - s^2}} = \frac{\mu_0 I_0}{2\pi} \ln \left( \frac{ct + \sqrt{(ct)^2 - s^2}}{s} \right) z \]
\[ \mathbf{B}(s, t) = \nabla \times \mathbf{A} = -\frac{\partial A}{\partial s} \hat{\phi} = \frac{\mu_0 I_0}{2\pi s} \frac{ct}{\sqrt{(ct)^2 - s^2}} \hat{\phi} \]
该导线在$s$处产生的磁场是 \[\mathbf{B}(s, t) = \begin{cases} 0, & t \leq 0 \\ \frac{\mu_0 I_0}{2\pi s} \frac{ct}{\sqrt{(ct)^2 - s^2}} \hat{\phi}, & t > 0 \end{cases}\] $\hat{\phi}为单位向量$
 \( t \to \infty \)，\( \mathbf{B} = \left( \frac{\mu_0 I_0}{2\pi s} \right) \hat{\phi}_0 \)


Question:
Consider two real scalar fields, $H(x)$ and $S(x)$, with potential

$$
V(H,S)= -\mu_H^{2}\,H^{2}+ \lambda_H\,H^{4}\;-\mu_s^{2}\,S^{2} +\lambda_s\,S^{4} +\lambda_m\,S^{2}H^{2}.
$$

A discrete $\mathbb{Z}_2$ acting as $S\to -S$ is spontaneously broken by the vacuum expectation value
$S(x)=v_s+r(x)$ with $v_s\neq 0$. When find the vacuum expectation value of S(x), ignore the H(x). Besides, ignore electroweak symmetry breaking and gauge interactions; treat $H$ as a real scalar with canonical kinetic term and zero vacuum expectation value. (Here, you need to consider the interaction like HHSS, HHS, SSS)

 At tree level compute the amplitude $\mathcal A\bigl(HH\to HHHHHH\bigr)$.

To compute the tree-level result for the scattering process $HH \to HHHHHH$, we proceed classically by solving the equations of motion for the heavy field $S$, assuming it is non-dynamical (i.e., integrating it out at tree level). Loop effects are quantum in nature and are not considered here.

---

**Step 1: Define the scalar potential (UV theory)**
We start with scalar potential involving a light field $H$ and a heavy scalar field $S$,

$$
V(H, S) = -\mu_h H^2 + \lambda_h H^4 - \mu_s S^2 + \lambda_s S^4 + \lambda_m S^2 H^2.
$$

This includes a Higgs-like sector and a portal interaction via the term $\lambda_m S^2 H^2$.

---

**Step 2: Solve classical equation of motion for $S$**
We eliminate $S$ by solving its classical equation of motion (i.e., stationary condition for the potential),

$$
\frac{\partial V}{\partial S} = 0 \quad\Rightarrow\quad
-2\mu_s S + 4\lambda_s S^3 + 2\lambda_m S H^2 = 0.
$$

Solving this yields three branches. The nontrivial real solution is

$$
v_s(H) = \frac{1}{\sqrt{2\lambda_s}} \sqrt{\mu_s - \lambda_m H^2}.
$$

---

**Step 3: Substitute back into the potential**
We then evaluate the UV potential at this classical solution:

$$
V(H, v_s(H)) = -\mu_h H^2 + \lambda_h H^4
- \mu_s v_s(H)^2 + \lambda_s v_s(H)^4 + \lambda_m v_s(H)^2 H^2.
$$

This simplifies to

$$
V_{\text{eff}}(H) = -\frac{1}{4\lambda_s}
\left[
H^4(\lambda_m^2 - 4\lambda_h\lambda_s)
+ \mu_s^2 + H^2(4\lambda_s\mu_h - 2\lambda_m\mu_s)
\right].
$$

---

**Step 4: Analyze the resulting EFT**
After integrating out $S$, the effective potential is purely a function of $H$. It contains terms of the form

$$
V_{\text{eff}}(H) = c_0 + c_2 H^2 + c_4 H^4,
$$

but **no $H^6$, $H^8$, or higher-order terms**. This implies that at tree level, the six-point interaction $HH \to HHHHHH$ is absent:

$$
\boxed{\mathcal A_{\text{tree}}(HH \to HHHHHH) = 0}.
$$

---

This result follows directly from classical elimination of the heavy scalar via its equation of motion. No contact $H^6$ or $H^8$ terms are generated at this order. Any such interactions must arise from quantum loop corrections or higher-order terms in the expansion of the classical solution.


Question:
在 Weyl 自旋子形式下的 Yukawa 相互作用：
$$
y_u\, Q_L^\alpha\, u_R^c\, \epsilon_{\alpha \beta}\, H^\beta
+ y_d\, Q_L^\alpha\, d_R^c\, H^*_\alpha
+ y_e\, L_L^\alpha\, e_R^c\, H^*_\alpha + \text{h.c.}
\tag{1}
$$
可以用 Dirac 自旋子（4 分量）形式重写为：
$$
y_u'\, \overline{Q_L}\, u_R\, \widetilde{H}
+ y_d'\, \overline{Q_L}\, d_R\, H
+ y_e'\, \overline{L_L}\, e_R\, H + \text{h.c.}
\tag{2}
$$

其中，\(\widetilde{H} = \epsilon H^*\)。请写出 \(y_u, y_d, y_e\) 与 \(y_u', y_d', y_e'\) 之间的关系。

第一项为：
$$
y_u' \overline{Q_L} u_R \widetilde{H} + \text{h.c.}
= y_u' \begin{pmatrix} 0 & Q_L^\dagger \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 \\ u_R \end{pmatrix} \epsilon H^* + \text{h.c.}
= y_u' Q_L^\dagger u_R \epsilon H^* + \text{h.c.}
$$

写成 Weyl 自旋子形式为：
$$
= y_u^{\prime *} Q_L^T u_R^* \epsilon H + \text{h.c.}
= -y_u^{\prime *} Q_L^T \epsilon u_R^* H + \text{h.c.}
= -y_u^{\prime *} Q_L u_R^c \epsilon H + \text{h.c.}
$$

所以我们得到关系：
$$
y_u = -y_u^{\prime *}
$$

第二项为：
$$
y_d' \overline{Q_L} d_R H + \text{h.c.}
= y_d' Q_L^\dagger d_R H + \text{h.c.}
= y_d^{\prime *} Q_L^T d_R^* H^* + \text{h.c.}
= -y_d^{\prime *} Q_L^T \epsilon d_R^* H^* + \text{h.c.}
= -y_d^{\prime *} Q_L d_R^c H^* + \text{h.c.}
$$

所以我们得到：
$$
y_d = -y_d^{\prime *}
$$

第三项 \(y_e\) 的推导与上面相同，故直接写出结论：
$$
y_e = -y_e^{\prime *}
$$


Question:
Consider the theory of a complex scalar field $\phi$ invariant under a global $U(1)$ symmetry, $$ \mathcal{L} = \partial_\mu \phi^* \partial^\mu \phi - V(\phi), $$ with the potential $$ V(\phi) = \mu^2 \phi^* \phi + \frac{\lambda}{4} (\phi^* \phi)^2. $$ The parameters satisfy $\mu^2 < 0$ and $\lambda > 0$.Suppose now that we add a small term to this potential $$ \delta V = \epsilon^2 (\phi^* + \phi), $$ where $\epsilon^2$ is very small (smaller than any other scales in this theory). The vacuum is
$$
{\textstyle \phi _{0} =-\sqrt{\frac{-2\mu ^{2}}{\lambda }} +\frac{\epsilon^2 }{2\mu ^{2}}}
$$
Find the mass of the pseudo-Nambu-Goldstone boson.

在真空附近展开复标量场 \(\phi\) 为：
$$
\phi = \phi_0 + \frac{\phi_1 + i \phi_2}{\sqrt{2}}
$$

所以拉格朗日量为：
$$
\mathcal{L} = \frac{1}{2} \partial_\mu \phi_1 \partial^\mu \phi_1 + \frac{1}{2} \partial_\mu \phi_2 \partial^\mu \phi_2 - V(\phi_1, \phi_2)
$$

势能项为：
$$
V(\phi_1, \phi_2)
= \mu^2 \left( \phi_0 + \frac{\phi_1 - i\phi_2}{\sqrt{2}} \right)
\left( \phi_0 + \frac{\phi_1 + i\phi_2}{\sqrt{2}} \right)
+ \frac{\lambda}{4} \left( \left( \phi_0 + \frac{\phi_1 - i\phi_2}{\sqrt{2}} \right)
\left( \phi_0 + \frac{\phi_1 + i\phi_2}{\sqrt{2}} \right) \right)^2
+ \epsilon^2 \left( 2\phi_0 + \sqrt{2} \phi_1 \right)
$$

我们关注势能中的二次项：
$$
\left( \frac{3}{4} \lambda \phi_0^2 + \frac{\mu^2}{2} \right) \phi_1^2
+ \left( \frac{1}{4} \lambda \phi_0^2 + \frac{\mu^2}{2} \right) \phi_2^2
$$

其中 \(\phi_2\) 是较轻的模，其质量由下式给出：
$$
\left( \frac{1}{4} \lambda \phi_0^2 + \frac{\mu^2}{2} \right)
= \frac{\epsilon^2}{2 \sqrt{-2\mu^2 / \lambda}}
$$
因此，Pseudo-Nambu-Goldstone Boson的质量为：
$$
m_{\phi_2} = \frac{\epsilon^2}{\sqrt{-2\mu^2 / \lambda}}
$$


Question: 假想一个能量$E \to 0$的中子—中子散射，相互作用力势为 \[ V=\begin{cases} V_{0}\boldsymbol{\sigma}_{1}\cdot\boldsymbol{\sigma}_{2},&r < a\\ 0,&r > a \end{cases} \] (1) 这里$\boldsymbol{\sigma}_{1}$与$\boldsymbol{\sigma}_{2}$是入射中子与靶中子的泡利矩阵，$V_{0}$是常数。入射中子与靶中子都是非极化的。计算散射总截面$\sigma_{t}$。

在上述力势作用下，总自旋$\hat{S}$是守恒量。体系波函数可以表示为
\[
\psi(r,s_{1z},s_{2z})=\psi(r)\varPhi_{sm_{s}}(s_{1z},s_{2z})
\] (2)
其中$\varPhi_{sm_{s}}$是$\hat{S}^{2}$与$\hat{S}_{z}$的共同本征函数，$s = 0,m_{s}=0$；$s = 1,m_{s}=0,\pm1$。对于能量$E \to 0$的散射，只须考虑$s$波的散射。$s$波的空间波函数$\psi(r)=\psi(|\boldsymbol{r}_{1}-\boldsymbol{r}_{2}|)$对于交换两中子的空间坐标$\boldsymbol{r}_{1}$与$\boldsymbol{r}_{2}$是对称的。与$\psi(r)$相应的自旋波函数$\varPhi_{sm_{s}}(s_{1z},s_{2z})$，必定是对于交换两中子的自旋变量$s_{1z}$与$s_{2z}$为反对称的自旋单态波函数$\varPhi_{00}(s_{1z},s_{2z})$。在体系处于自旋单态时，$\boldsymbol{\sigma}_{1}\cdot\boldsymbol{\sigma}_{2}$的取值为\(-3\)，作用力势为
\[
V=\begin{cases}
-3V_{0},&r < a\\
0,&r > a
\end{cases}
\] (3)
令$\psi(r)=u(r)/r$，$u(r)$满足方程
\[
\frac{\mathrm{d}^{2}u(r)}{\mathrm{d}r^{2}}+\frac{2\mu}{\hbar^{2}}(E + 3V_{0})u(r)=0,\quad r < a
\] (4)
\[
\frac{\mathrm{d}^{2}u(r)}{\mathrm{d}r^{2}}+\frac{2\mu E}{\hbar^{2}}u(r)=0,\quad r > a
\] (4)
及边界条件$u(0)=0$。令
\[
\alpha=\sqrt{\frac{2\mu(E + 3V_{0})}{\hbar^{2}}},\quad k=\sqrt{\frac{2\mu E}{\hbar^{2}}}
\] (5)
方程变为
\[
\frac{\mathrm{d}^{2}u(r)}{\mathrm{d}r^{2}}+\alpha^{2}u(r)=0,\quad r < a
\] (6)
\[
\frac{\mathrm{d}^{2}u(r)}{\mathrm{d}r^{2}}+k^{2}u(r)=0,\quad r > a
\] (7)
方程满足条件$u(0)=0$的解为
\[
u_{1}(r)=A\sin\alpha r,\quad r < a
\] (8)
\[
u_{2}(r)=B\sin(kr+\delta_{0}),\quad r > a
\] (9)
由连续条件$u_{1}(a)=u_{2}(a)$，$u_{1}^{\prime}(a)=u_{2}^{\prime}(a)$，得
\[
A\sin\alpha a=B\sin(ka+\delta_{0})
\] (10)
\[
A\alpha\cos\alpha a=Bk\cos(ka+\delta_{0})
\] (11)
以上两式相比，得
\[
\frac{k}{\alpha}\mathrm{tg}(\alpha a)=\mathrm{tg}(ka+\delta_{0})
\] (12)
\[
\delta_{0}=\mathrm{arctg}\left(\frac{k}{\alpha}\mathrm{tg}(\alpha a)\right)-ka
\] (13)
\[
E\to0,\quad k\to0,\quad\alpha\to\sqrt{\frac{6\mu V_{0}}{\hbar^{2}}}\equiv\alpha_{0}
\] (14)
\[
\delta_{0}\stackrel{E\to0}{\longrightarrow}\frac{k}{\alpha_{0}}\mathrm{tg}(\alpha_{0}a)-ka=ka\left(\frac{\mathrm{tg}(\alpha_{0}a)}{\alpha_{0}a}-1\right)
\] (15)
\[
f(\theta)=\frac{1}{k}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\delta_{0}}\sin\delta_{0}
\] (16)
\[
\begin{align*}
\sigma(\theta)&=|f(\theta)+f(\pi - \theta)|^{2}=\left|\frac{2}{k}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\delta_{0}}\sin\delta_{0}\right|^{2}\\
&=\frac{4}{k^{2}}\sin^{2}\delta_{0}\approx\frac{4}{k^{2}}\delta_{0}^{2}=4a^{2}\left(\frac{\mathrm{tg}(\alpha_{0}a)}{\alpha_{0}a}-1\right)^{2}
\end{align*}
\] (16)
自旋单态散射总截面为
\[
\sigma_{t}=\frac{1}{2}\int\sigma(\theta)\mathrm{d}\Omega = 8\pi a^{2}\left(\frac{\mathrm{tg}(\alpha_{0}a)}{\alpha_{0}a}-1\right)^{2}
\] (17)
在入射中子与靶中子都是非极化的条件下，状态$\alpha(1)\alpha(2)$，$\alpha(1)\beta(2)$，$\beta(1)\alpha(2)$，$\beta(1)\beta(2)$出现的几率都是$1/4$。显然，状态$|11\rangle$，$|10\rangle$，$|1 - 1\rangle$，$|00\rangle$出现的几率也都是$1/4$。考虑到自旋单态$|00\rangle$出现的几率为$1/4$，散射总截面为
\[
\sigma_{t}=\frac{1}{4}\times8\pi a^{2}\left(\frac{\mathrm{tg}(\alpha_{0}a)}{\alpha_{0}a}-1\right)^{2}=2\pi a^{2}\left(\frac{\mathrm{tg}(\alpha_{0}a)}{\alpha_{0}a}-1\right)^{2}
\] (18)


Question: 电子在磁场\(\mathbf{B}=(0,B_{y},B_{z})\)中运动，\(B_{z}\)比\(B_{y}\)小得多. (1) 只考虑自旋运动，写出体系的哈密顿量，求出本征能量并展开到\(B_{z}/B_{y}\)的领头阶，求出本征态(不要归一化)； (2) 把\(B_{z}\)看成微扰，用定态微扰论计算体系的能量到\(B_{z}^{2}\)阶.


Question: 上世纪六十年代初，人们在实验上发现了超导环内的磁通量的量子化现象。磁通量子的单元是 $\frac{h}{2 e}$ ，其中 $h=2 \pi \mathrm{~h}$ 为普朗克常量（ h 为约化普朗克常量），$c$ 为真空中的光速，$-e$ 为电子电量。为了理解这一现象，考虑一维圆环上非相对论无相互作用电子的稳定运动状态，如图 $a$ 所示。已知电子质量为 $m$ ，环的半径为 $R$ ，环上电子的运动状态可以用以下波函数表示，$\psi(x)=\exp \left(\frac{i}{\hbar} p x\right)$ 其中，$x=R \theta$ 标记以圆环中心为原点的极坐标系统 $(\rho, \theta)$ 中环上的位置，$p$ 是电子的动量。 （1）一维的圆环上电子的波函数 $\psi(x)$ 应当满足单值性条件，试据此给出电子动量 $p$ 所有可能的取值。 （2）在环中通入磁通 $\Phi$（ $\Phi$ 关于过圆心且垂直于圆面的轴对称，图中笠头表示磁通的正负。在本题的计算中，$\Phi$ 视为连续变量），如图 $b$ 所示。此时电子的动量变为 $p^{\prime}=p+e A$ 其中 $A$ 为电磁场的矢势，其方向可视为沿环的切线方向。电子的能量由 $E=\frac{p^2}{2 m}$ 给出。试据此给出此时单个电子的能量 $E$ 与磁通量 $\Phi$ 的关系。 （3）考虙环上N个无相互作用的电子构成的系统。在接近绝对零度时，由于量子效应，系统满足以下两个条件： （3．1）任意两个电子具有不同的动量 （3．2）系统总能量取最小值 证明该系统的总能量 $E_{\mathrm{tot}}$ 随磁通量 $\Phi$ 周期性变化，并指出该周期的大小。 （4）在 $-\frac{h}{2 e} \leq \Phi \leq \frac{h}{2 e}$ 的范围内，试给出系统单粒子平均能量 $E=\frac{E_{100}}{N}$ 随 $\Phi$ 的变化关系；并由此指出，当 N 为奇数时，$\Phi=0$ 时的平均能量小于 $|\Phi|=\frac{h}{2 e}$ 时的平均能量；当 N 为偶数时，$\Phi=0$ 时的平均能量大于 $|\Phi|=\frac{h}{2 e}$ 时的平均能量。

$E_n=\frac{\hbar^2}{2 m R^2}\left(n+\frac{e \Phi}{h}\right)^2, n=0, \pm 1, \pm 2, \cdots$

$\frac{\hbar^2}{2 m R^2}\left(\frac{e \Phi}{h}+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{\hbar^2}{2 m R^2}\left(\frac{M^2}{3}-\frac{1}{12}\right)$ ，当 $N$ 为奇数时，$\Phi=0$ 时的平均能量小于 $|\Phi|=\frac{h}{2 e}$ 时的平均能量；当 $N$ 为偶数时，$\Phi=0$ 时的平均能量大于 $|\Phi|=\frac{h}{2 e}$ 时的平均能量


Question: 长为 \( l \) 的绳子一端固定，另一端系质量为 \( m \) 的质点。在重力作用下，质点在竖直平面内摆动，写出质点运动的哈密顿量。

令摆动角为 \( \varphi \)
以质点平衡位置 \( (\varphi = 0) \) 的势能作为势能的零点，则势能  \[ V(\varphi) = m g l (1 - \cos \varphi) \]

质点运动的哈密顿量\[ \hat{H} =\hat{H_0}+\hat{V}(\varphi)=  -\frac{\hbar^2}{2  m l^2} \frac{d^2}{d \varphi^2} + m g l (1 - \cos \varphi) \]

\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2 m l^2} \frac{d^2}{d \varphi^2} + m g l (1 - \cos \varphi)


Question: 不考虑自旋，原子中的电子状态可以表示为 \[ \psi_{nlm}=R_{nl}(r)\mathrm{Y}_{lm}(\theta,\varphi) \] 设能级只取决于主量子数\(n\)。设初态为\((nlm)\)，终态为\((n'l'm')\)，\(n\)、\(n'\)、\(l\)、\(m\)均已给定。 (a) 求跃迁到\(l'\)相同，\(m'\)不同的各个终态的分支比； (b) 求\(l'\)不同的各个终态(对\(m'\)求和)的分支比。


Question: 氢原子的Hamilton量为 \[ H_{0}=-\frac{\hbar^{2}}{2\mu}\nabla^{2}-\frac{e^{2}}{r}=\frac{\boldsymbol{p}^{2}}{2\mu}-\frac{e^{2}}{r} \] (1) 如沿\(z\)方向加上均匀电场\(\mathscr{E}\)（当作微扰），能量算符变成 \[ H = H_{0}+H'=H_{0}+e\mathscr{E}z \] (2) 如取试探波函数为 \[ \psi(\lambda,\boldsymbol{r})=N(1+\lambda e\mathscr{E}z)\psi_{0}(\boldsymbol{r}) \] (3) 其中\(\psi_{0}\)为微扰前的基态波函数，即\(\psi_{0}=\psi_{100}\)。试用变分法求基态能级的上限和电极化率，并和微扰论结果比较。

氢原子的Hamilton量为
\[ H_{0}=-\frac{\hbar^{2}}{2\mu}\nabla^{2}-\frac{e^{2}}{r}=\frac{\boldsymbol{p}^{2}}{2\mu}-\frac{e^{2}}{r} \] (1)

如沿\(z\)方向加上均匀电场\(\mathscr{E}\)（当作微扰），能量算符变成
\[ H = H_{0}+H'=H_{0}+e\mathscr{E}z \] (2)

如取试探波函数为
\[ \psi(\lambda,\boldsymbol{r})=N(1+\lambda e\mathscr{E}z)\psi_{0}(\boldsymbol{r}) \] (3)
其中\(\psi_{0}\)为微扰前的基态波函数，即\(\psi_{0}=\psi_{100}\)。试用变分法求基态能级的上限和电极化率，并和微扰论结果比较。

解 微扰前，基态能级和基态波函数为
\[ E_{0}=-\frac{e^{2}}{2a_{0}}=-\frac{\mu e^{4}}{2\hbar^{2}} \] (4)
\[ \psi_{0}=\psi_{100}=(\pi a_{0}^{3})^{-1/2}\mathrm{e}^{-r/a_{0}} \]
\[ a_{0}=\hbar^{2}/\mu e^{2} \text{(Bohr半径)} \] (5)

试探波函数式(3)即
\[ \psi(\lambda,\boldsymbol{r})=N(1+\lambda H')\psi_{0} \] (3')
这正是题12.16所取的试探函数，因此准确到\(\mathscr{E}^{2}\)量级的基态能级上限，可以按题12.16式(8)或(8')算出. 对于本题，以式(8)较容易. 有关对易式为
\[
\begin{align*}
[H_{0},H']&=\frac{e\mathscr{E}}{2\mu}[\boldsymbol{p}^{2},z]=-\mathrm{i}\hbar\frac{e\mathscr{E}}{\mu}p_{z}\\
[H',[H_{0},H']]&=-\mathrm{i}\hbar\frac{e^{2}\mathscr{E}^{2}}{\mu}[z,p_{z}]=\hbar^{2}e^{2}\mathscr{E}^{2}/\mu
\end{align*}
\]

因此
\[ \langle[H',[H_{0},H']]\rangle_{0}=\hbar^{2}e^{2}\mathscr{E}^{2}/\mu \] (6)

另外，容易算出
\[ \langle H'\rangle_{0}=e\mathscr{E}\langle z\rangle_{0}=0 \] (7)
\[ \langle H'^{2}\rangle_{0}=e^{2}\mathscr{E}^{2}\langle z^{2}\rangle_{0}=\frac{1}{3}e^{2}\mathscr{E}^{2}\langle r^{2}\rangle_{0}=e^{2}\mathscr{E}^{2}a_{0}^{2} \] (8)

代入式(7)、(8)，即得
\[ \lambda=-2a_{0}/e^{2}=1/E_{0} \] (9)
\[ E'=E_{0}-2\mathscr{E}^{2}a_{0}^{3} \] (10)
\[ \psi=N\left(1-\frac{2a_{0}}{e^{2}}e\mathscr{E}z\right)\psi_{0} \] (11)

式(11)作为近似的基态波函数，已不再是球对称的，电偶极矩平均值为(取\(N \sim 1\))
\[ \langle D_{z}\rangle=\langle\psi|(-ez)|\psi\rangle=4\mathscr{E}a_{0}\langle z^{2}\rangle_{0}=4\mathscr{E}a_{0}^{3} \] (12)

极化率为
\[ \alpha=\frac{\langle D_{z}\rangle}{\mathscr{E}}=-\frac{\partial^{2}E}{\partial\mathscr{E}^{2}}=4a_{0}^{3} \] (13)

微扰论的计算结果为
\[ E = E_{0}-\frac{9}{4}\mathscr{E}^{2}a_{0}^{3}, \quad \langle D_{z}\rangle=\frac{9}{2}\mathscr{E}a_{0}^{3}, \quad \alpha=\frac{9}{2}a_{0}^{3} \]
变分法所得能级略高于微扰论结果，\(\langle D_{z}\rangle\)及\(\alpha\)则略小于后者.


Question:
目标：计算特定能量范围内的单位体积态密度
考虑自由电子体系的单位体积态密度，其表达式为
$$g(E)=\frac{4\pi (2m)^{3/2}}{h^3}\sqrt{E}$$
请计算能量在 $0$ 到 $1~\mathrm{eV}$ 范围内的单位体积量子态数目，结果请使用科学记数法，保留两位有效数字。


Question:
背景考虑一维双链耦合振子系统,其动态矩阵由厄米部分 $D_{0}$ 和非厄米修正项 $D^{\prime}$ 组成:
$$
D=D_{0}+D^{\prime}=\left(\begin{array}{c c}{{2t\cos(k a)-2t-t_{\perp}}}&{{t_{\perp}}}\\ {{t_{\perp}}}&{{2t\cos(k a)-2t-t_{\perp}}}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c c}{{p_{\alpha}e^{i k L}}}&{{0}}\\ {{0}}&{{p_{\beta}e^{i k L}}}\end{array}\right),
$$
其中 $t=1,L=40a,a=1$ ,且 $L\gg a$ 。忽略 $ e^{i k L}$ 的快速振荡(视为全局复相位 $e^{i\theta}$ , $\theta\in[0,2\pi)$ )。令 $p_{\alpha}=-0.2$ , $p_{\beta}=1.0$ , 求解 $D$ 的本征值 $\boldsymbol{E_{1,2}}$ 。通过分析 $f(k)^{2}=$ $e^{2i\theta}(p_{\alpha}-p_{\beta})^{2}+4t_{\perp}^{2}$ 在复平面的绕原点圈数,推导相变临界条件 $t_{\perp}=t_{c}$ ,并给出 $t_{c}$ 的表达式。证明当 $t_{\perp}=t_{c}$ 时,本征值 $E_{1}=E_{2}$ ,并计算此时的本征值。

动态矩阵的本征值满足:
$$
\operatorname*{det}(D-E I)=0.
$$
展开行列式方程:$$
\left(2\cos k-2-t_{\perp}+p_{\alpha}e^{i\theta}-E\right)\left(2\cos k-2-t_{\perp}+p_{\beta}e^{i\theta}-E\right)-t_{\perp}^{2}=0.
$$
令 $h=2\cos{k}-2-t_{\perp}$ ,则方程化简为:
$$
\left(h+p_{\alpha}e^{i\theta}-E\right)\left(h+p_{\beta}e^{i\theta}-E\right)-t_{\perp}^{2}=0.
$$
解得本征值:$$
E_{1,2}=h+\frac{(p_{\alpha}+p_{\beta})e^{i\theta}}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{(p_{\alpha}-p_{\beta})e^{i\theta}}{2}\right)^{2}+t_{\perp}^{2}}.
$$定义 $f(k)^{2}=e^{2i\theta}(p_{\alpha}-p_{\beta})^{2}+4t_{\perp}^{2}$ ,其根在复平面构成以 $(2t_{\perp},0)$ 为圆心、半径 $|p_{\alpha}-p_{\beta}|$ 的圆。当圆包含原点时,绕数 $w=1$ ,否则 $w=0$ 。临界条件为圆心到原点距离等于半径:$$
2t_{c}=|p_{\alpha}-p_{\beta}|\implies t_{c}=\frac{|p_{\alpha}-p_{\beta}|}{2}=\frac{1.2}{2}=0.6.
$$


Question: 当T=283开，P=1000百帕的饱和湿空气等压降低3℃，水汽凝结成雾，问每立方米空气含水几克？若绝热上升至850百帕，那每立方米空气中又有多少克液态水？

解：根据绝对湿度公式
a = 217 * e / T
式中
  a 为绝对湿度（克/立方米），
  e 为水汽压（百帕），
  T 为气温（开氏度）。

因为是饱和湿空气，故 e 可换成饱和水汽压 E，得
a = 217 * E / T

E 可用马克努斯公式求得（此处已给出数值）。

设：
  a1 = 283 K 时的饱和绝对湿度，
  a2 = 280 K 时的饱和绝对湿度，
  a3 = 绝热上升到 850 hPa，276 K 时的饱和绝对湿度。

1）降温 3°C（283 K → 280 K）每立方米空气中含水量增量 Δa：
Δa = a1 − a2
   = 217 * (12.5/283) − 217 * (10/280)
   = 1.83 （克/立方米）

2）绝热上升到 850 hPa（温度 276 K）时每立方米空气中含水量增量 Δa：
Δa = a1 − a3
   = 217 * (12.5/280) − 217 * (7.50/276)
   = 3.68 （克/立方米）


Question: 大气边界层氮氧化物的生命周期与其浓度有关。在我国东部森林地区夏季，随着氮氧化物排放的不断增加，其生命周期会发生什么变化？


Question: 有两个半径分别为2×10^-7厘米和2×10^-6厘米的纯水滴，水滴上均附有一个元量的电荷，问它们的饱和比为多少？

半径为2×10^-7厘米的水滴饱和比为160% 半径为2×10^-6厘米的水滴饱和比为106%


Question: 从半径为1微米的云滴凝结增长成半径为5微米,10微米,500微米云滴需要多少时间?假设云内的过饱和度为0.1%,温度为10度.

解：根据凝结增长方程
dr/dt = Kc·(e − E)/r   (1)

式中
- r 为云滴半径
- Kc 为凝结系数，
  Kc = [0.22／(1 + t/273)] × 0.8×10⁻⁶ ≈ 1.7×10⁻⁷ （厘米²／百帕·秒）
- e 为水汽压，E 为饱和水汽压。

将 (1) 式中的 e − E 用过饱和度 Δf 表示：
e − E = (Δf·E)/100

代入 (1) 式，得
dr/dt = Kc·(Δf·E)/(100·r)   (2)

由 (2) 式变形：
dt = (100·r·dr)/(Δf·Kc·E)   (3)

对 (3) 式两边积分，半径从 r₁ 变到 r₂ 所需时间：
t = [100/(Kc·Δf·E)]·(r₂²/2 − r₁²/2)   (4)

式中 r₁、r₂ 单位为厘米，t 单位为秒。取：
r₁ = 1 μm = 1×10⁻⁴ cm
r₂ = 5 μm = 5×10⁻⁴ cm
Δf = 0.1
E = 12.27 百帕
Kc = 1.7×10⁻⁷

代入 (4) 式，得
t ≈ 56 秒 ≈ 1 分钟

取 r₂ = 10 μm 时，t ≈ 4 分钟
取 r₂ = 500 μm 时，t ≈ 6.8 天


Question: 常压和30℃下，用活性炭吸附回收某厂废气中的丙酮蒸气，废气中丙酮含量为11.6%（体积比），若其吸附等温线符合朗格缪尔方程（A=0.80，B=0.25×10⁻³）试求：（1）活性炭的饱和吸附量；（2）若废气量为1000m³/h（操作状态），要吸附其中丙酮的99%需要多少kg活性炭？（3）用饱和蒸气脱附，直至离开的气流中丙酮含量降至0.16%（体积比），丙酮的回收率是多少？

(1) 活性炭的饱和吸附量
当P→∞时，朗格缪尔方程简化为：
X_T = A = 0.80 g丙酮/g活性炭
答案：活性炭的饱和吸附量为0.80 g丙酮/g活性炭

(2) 计算所需活性炭量
步骤1：计算需要吸附的丙酮量
在标准状态下换算：
操作状态废气量：1000 m³/h
标准状态下体积：1000 × (273/303) = 901.3 m³/h
丙酮体积：901.3 × 11.6% = 104.6 m³/h
需吸附99%的丙酮：104.6 × 0.99 = 103.6 m³/h

步骤2：将体积换算为质量
标准状态下丙酮摩尔体积：22.4 L/mol
丙酮分子量：58 g/mol
丙酮质量：(103.6 × 1000)/22.4 × 58 = 268 kg/h

步骤3：计算所需活性炭量
根据饱和吸附量：
活性炭需要量 = 268/0.80 = 335 kg/h
答案：需要335 kg/h活性炭

(3) 计算丙酮回收率
脱附过程分析：
进气丙酮含量：11.6%（体积比）
出口丙酮含量：0.16%（体积比）
回收率计算：
回收率 = (进气含量 - 出口含量)/进气含量 × 100%
回收率 = (11.6 - 0.16)/11.6 × 100% = 98.6%
答案：丙酮的回收率为98.6%


Question: 植物排放的异戊二烯（C₅H₈）是生物源中排放量最大的一种重要的臭氧前体物。在存在 NOₓ 的条件下，异戊二烯在大气中发生氧化反应的简化机理如下： （1） C₅H₈ + OH → HO₂ + products k₁ = 4×10⁻¹⁰ cm³·molecule⁻¹·s⁻¹ （2） HO₂ + NO → OH + NO₂ k₂ = 1×10⁻¹¹ cm³·molecule⁻¹·s⁻¹ （3） NO + O₃ → NO₂ + O₂ k₃ = 1×10⁻¹⁴ cm³·molecule⁻¹·s⁻¹ （4） NO₂ + hν ⟶₀₂ NO + O₃ k₄ = 1×10⁻² s⁻¹ （5） HO₂ + HO₂ → H₂O₂ + O₂ k₅ = 3×10⁻¹² cm³·molecule⁻¹·s⁻¹ （6） NO₂ + OH + M → HNO₃ + M k₆ = 4×10⁻³¹ cm⁶·molecule⁻²·s⁻¹ 假设在大气中相关物质的浓度如下： [C₅H₈] = 1×10¹⁰ molecules·cm⁻³ [NOₓ] = 1×10¹⁰ molecules·cm⁻³ [O₃] = 1×10¹² molecules·cm⁻³ [HO₂] = 5×10⁸ molecules·cm⁻³ [Air] = 2.5×10¹⁹ molecules·cm⁻³ 假设反应（1）中的产物 “products” 是惰性的（相对而言），即不参与其他反应物或产物的进一步反应；所有的自由基都处于稳态；反应 5 和 6 相对于其他反应而言相对较慢。 1. 分别计算 [NO]/[NO₂] 及 [HO₂]/[OH] 的比值； 2. 分别计算各个反应速率，并证实反应 5 和 6 相对于其他反应而言的确慢； 3. 以上条件及假设下，臭氧形成属于 NOₓ 级限还是 VOCs 级限？并作简要解释。 4.求 OPE 值，并讨论如果异戊二烯的排放量增加，OPE 是增加还是减少？简要说明原因。

**已知反应及速率常数**
(1) C₅H₈ + OH → HO₂ + products k₁ = 4×10⁻¹⁰ cm³·molecule⁻¹·s⁻¹
(2) HO₂ + NO → OH + NO₂    k₂ = 1×10⁻¹¹ cm³·molecule⁻¹·s⁻¹
(3) NO + O₃ → NO₂ + O₂    k₃ = 1×10⁻¹⁴ cm³·molecule⁻¹·s⁻¹
(4) NO₂ + hν → NO + O₃    k₄ = 1×10⁻² s⁻¹
(5) HO₂ + HO₂ → H₂O₂ + O₂  k₅ = 3×10⁻¹² cm³·molecule⁻¹·s⁻¹
(6) NO₂ + OH + M → HNO₃ + M k₆ = 4×10⁻³¹ cm⁶·molecule⁻²·s⁻¹

**已知浓度**（molecules·cm⁻³）
[C₅H₈] = 1×10¹⁰
[NOₓ] = [NO] + [NO₂] = 1×10¹⁰
[O₃] = 1×10¹²
[HO₂] = 5×10⁸
[M]（空气） = 2.5×10¹⁹

**假设**：自由基稳态；(5)、(6) 相对较慢；“products” 惰性。

---

### ① 计算 \([NO]/[NO₂]\) 及 \([HO₂]/[OH]\)

1. **NO–NO₂ 稳态**
   \[
   \frac{d[NO]}{dt}=-k_{2}[NO][HO_{2}]-k_{3}[NO][O_{3}]+k_{4}[NO_{2}]\approx0
   \]
   \[
   \frac{[NO]}{[NO_{2}]}=\frac{k_{4}}{k_{2}[HO_{2}]+k_{3}[O_{3}]}
   =\frac{1\times10^{-2}}{1\times10^{-11}\times5\times10^{8}+1\times10^{-14}\times1\times10^{12}}
   =\frac{1\times10^{-2}}{5\times10^{-3}+1\times10^{-2}}
   =\frac{2}{3}\approx0.67
   \]
   \[
   [NO_{2}]=6.0\times10^{9},\quad[NO]=4.0\times10^{9}
   \]

2. **OH 稳态**（忽略 k₆ 项）
   \[
   \frac{d[OH]}{dt}=k_{2}[NO][HO_{2}]-k_{1}[OH][C_{5}H_{8}]\approx0
   \;\Longrightarrow\;
   [OH]
   =\frac{k_{2}[NO][HO_{2}]}{k_{1}[C_{5}H_{8}]}
   =\frac{1\times10^{-11}\times4\times10^{9}\times5\times10^{8}}
   {4\times10^{-10}\times1\times10^{10}}
   =5.0\times10^{6}
   \]
   \[
   \frac{[HO_{2}]}{[OH]}=\frac{5\times10^{8}}{5\times10^{6}}=100
   \]

---

### ② 各反应速率（molecules·cm⁻³·s⁻¹）

R₁ = k₁[C₅H₈][OH] = 4×10⁻¹⁰ × 1×10¹⁰ × 5×10⁶ = 2.0×10⁷

R₂ = k₂[HO₂][NO] = 1×10⁻¹¹ × 5×10⁸ × 4×10⁹ = 2.0×10⁷

R₃ = k₃[NO][O₃] = 1×10⁻¹⁴ × 4×10⁹ × 1×10¹² = 4.0×10⁷

R₄ = k₄[NO₂] = 1×10⁻² × 6×10⁹ = 6.0×10⁷

R₅ = k₅[HO₂]² = 3×10⁻¹² × (5×10⁸)² = 7.5×10⁵

R₆ = k₆[NO₂][OH][M] = 4×10⁻³¹ × 6×10⁹ × 5×10⁶ × 2.5×10¹⁹ = 3.0×10⁵

可见 R₅、R₆ (10⁵–10⁶) ≪ R₁–R₄ (10⁷–10⁸)。

---

### ③ 臭氧形成机制判定

- HOₓ 循环效率高 (R₂ ≈ R₁)，丢失 (R₅、R₆) 小
- O₃ 生成主要受 NOₓ 控制 ⇒ **NOₓ 级限**

---

### ④ OPE 计算及趋势

定义：\(\displaystyle\mathrm{OPE}=\frac{2\,R_2}{R_6}\)
\[
\mathrm{OPE}
=\frac{2\times2.0\times10^{7}}{3.0\times10^{5}}
\approx140
\]

若 C₅H₈ 排放量增加 ⇒ HOₓ 循环更活跃 ⇒ OH 消耗 ↑ ⇒ 连锁次数 ↑ ⇒ **OPE 增大**。

OPE ≈ 140；若C₅H₈排放增多，OPE会增大


Question:
所谓蒸发率（或称蒸发速度），是指近地面层中水汽湍流垂直输运通量密度，以E'表示蒸发率，则有
E' = qz = -ρKw ∂q̄/∂z
在中性层结条件下，已知0.5m高度上水气压为13.4hPa，2m高度上水气压为13.0hPa，1m高度上水汽湍流扩散系数Kw为0.1m²·s⁻¹，求蒸发率E'（设近地面层中气压为1000hPa，密度取为1.3kg·m⁻³）。

解：E' = qz = -ρKw ∂q̄/∂z                    (1)
因在近地面层中q̄服从对数定律，∂q̄/∂lnz = 常数，且E'≈常数，则(1)式中kw·z分别用题目所给数据代入，而
∂q̄/∂lnz = (q̄₂ - q̄₁)/(lnz₂/z₁)              (2)
则(1)式化为
E' = -ρKw z (q̄₂ - q̄₁)/(ln z₂/z₁)            (3)
又因q̄ = 0.623 e/p，p变化相对e要小，则
E' = 0.623 (ρKw z)/(p) · (e₁ - e₂)/(ln z₂/z₁)   (4)
则代入数据求得 E' = 2.33×10⁻² g/m²·s。


Question: 设有一温度T=300K的等温气层，对于波长=14m的定向平行辐射当只有吸收削弱时，垂直入射气层的透射率Tr=0.6587。试求：①气层对该辐射的吸收率，②若气层的光学质量u=0.4175(g/cm2)求质量吸收系数k；③气层的漫射辐射透射率f，④气层本身的辐射出射度。

解：
① 因为只有吸收削弱，所以吸收率为
   A_λ = 1 – τ_λ = 1 – 0.6587 = 0.3413

② 由透射率公式 τ_λ = exp(–k_{aλ}·u)，求得
   k_{aλ} = – ln τ_λ / u = – ln 0.6587 / 0.4175 = 1 cm²/g

③ 气层的漫射辐射透射率 T_{f,λ} = (τ_λ)^1.66 = 0.6587^1.66 = 0.5

④ 气层本身的辐射出射度 F = (1 – τ_{f,λ}) σ T⁴
   = 0.5 × 5.6696×10⁻⁸ × 300⁴
   = 229.6 (W/m²)


Question: 某铜冶炼厂的烟囱高150m，烟云抬升高度为75m，其SO₂排放速率为1000g/s。（1）估算下风向5km处的SO₂地面浓度。假定风速为3m/s，大气稳定度为C。（2）在相同条件下，若新建一座烟囱以使地面浓度降低为现在的50%，烟囱高度应为多少米？

解：（1）x=5km，大气稳定度为C时，σy = 404.5m，σz = 267.5m    SO₂浓度：**

ρ(5000,0,0,225) = Q/(πuσyσz) exp(-H²/2σz²)

= 1000/(3.14×3×404.5×267.5) exp(-225²/2×267.5²) = 688μg/m³

（2）若令浓度减少为现在的50%    ρ'/ρ = 1/2 ⇒ exp(-H²/2σz² + H'²/2σz²) = 1/2 ⇒ H' = 387.1m 因此烟囱的实际高度H=

387.1-75=312.1m。

注：这里H表示有效排放高度（烟囱高度+烟云抬升高度），H'表示新烟囱的有效排放高度，最终计算得出新烟囱的实际高度应为312.1米。


Question: 一股废气含90%空气和10%氨气（体积分数），废气流量为2520m3/h，温度为49℃、气压1.05atm，采用填料塔水喷淋吸收处理，水喷淋量为4.5m3/h，处理后排气温度24℃、气压1.02atm，氨气体积分数0.3%（干基），估算填料塔排气口氨气的排放速率。


Question: 把处理量为250mol/min的某一污染物引入催化反应器，要求达到74%的转化率。假设采用长6.1m，直径3.8cm的管式反应器，求所需要催化剂的质量和所需要的反应管数目。催化剂堆密度为580kg/m³。

所需催化剂质量： 2242.84kg
所需反应管数目： 561个


Question: 某燃油锅炉尾气，NO排放标准为287.5mg/m³，若燃油的分子式为C₁₀H₂₀N_x，在50%过剩空气条件下完全燃烧，燃料中的氮50%转化为NO，不计大气中N₂转变生成的NO。计算在不超过排放标准情况下，燃料油中氮的最高质量分数。


Question: $5 \mathrm{CrNiMo} 、 5 \mathrm{CrMnMo}$ 钢制锤锻模淬回火，其中锤锻模的燕尾可采用哪些方法处理？

燕尾可采用单独加热回火和自行回火的方法。单独加热回火是在保证模腔达到硬度要求后，再用专用电炉或用盐浴炉来对燕尾部分单独进行回火加热。自行回火方法是将淬火加热后的锻模整体淬入油中一段时间后把燕尾提出油面停留一段时间，依靠其本身的热量使温度回升，如此反复操作 3－5 次即可，使燕尾自行回火以达到硬度要求。

单独加热回火或者自行回火


Question: 手工电弧焊接厚 12 mm 的 MnMoNbB 钢，焊接线能量 $\mathrm{E}=2 \mathrm{kj} / \mathrm{cm}$ ，预热温度为 50 度，求 $\mathrm{t} 8 / 5$ ？附 $\lambda=0.29 \mathrm{~J} /\left(\mathrm{cms}{ }^{\circ} \mathrm{C}\right) \quad \mathrm{CP}=6.7 \mathrm{~J} /\left(\mathrm{cms}{ }^{\circ} \mathrm{C}\right)$

$$
\begin{aligned}
& \delta_{c r}=\sqrt{\frac{E}{2 \mathrm{c} \rho}\left(\frac{1}{500-\mathrm{T}_0}+\frac{1}{800-\mathrm{T}_0}\right)}=0.73 \mathrm{~cm} \\
& \delta=1.2 \mathrm{~cm}>0.75 \delta_{c r}=0.55 \mathrm{~cm}, \\
& t 8/ 5=\frac{E}{2 \pi \lambda}\left(\frac{1}{500-\mathrm{T}_0}+\frac{1}{800-\mathrm{T}_0}\right)=0.98 \mathrm{~s}
\end{aligned}
$$


Question: 车削外径 36 mm ，中径 $33 \mathrm{~mm} 、$ 内径 $29 \mathrm{~mm} 、$ 螺距 6 mm 的梯形螺纹时，若使用刀具前角为 $0^{\circ}$ 、左刃后角 $\alpha \mathrm{oL}$ 为 $12^{\circ}$ ，右刃后角 $\alpha \mathrm{oR}$ 为 $6^{\circ}$ ，试问左右刃工作前、后角是多少？

所加工梯形螺纹的螺旋升角为：
$$
\eta=\operatorname{artg} \frac{f}{\pi \cdot d_w}
$$
式中 $f=6 \mathrm{~mm}, d w=36 \mathrm{~mm}$ ，计算得 $\eta=3.04^{\circ}$
在 $\mathbf{p f}$ 平面内，对左切削刃，工作前角增大了 $\eta$ ，变为 $3.04^{\circ}$ ，工作后角减小了 $\eta$ ，变为 $8.96^{\circ}$ 。对右切削刃，工作前角减小了 $\eta$ ，变为 $\mathbf{- 3 . 0 4 ^ { \circ }}$ ，工作后角增大了 $\eta$ ，变为 $\mathbf{9 . 0 4 ^ { \circ } \text { 。 }}$


Question: $5 \mathrm{CrNiMo} 、 5 \mathrm{CrMnMo}$ 钢制锤锻模淬之后，回火时应注意哪些问题？

5 CrMnMo 为热锻模用钢，其常用的普通淬火工艺为：
淬火： $550^{\sim} 600^{\circ} \mathrm{C}$ 预热（时间箱式炉以 $0.6 \mathrm{~min} / \mathrm{mm}$ 计）$\rightarrow 830^{\sim} 850^{\circ} \mathrm{C}$ 均温（时间：箱式炉以 $1.0^{\sim} 1.5 \mathrm{~min} / \mathrm{mm}$ ，盐浴炉加热 $0.40^{\sim} 0.60 \mathrm{~min} / \mathrm{mm}$ 计）$\rightarrow$ 预冷（大型模具预冷至 $760^{\sim} 780^{\circ} \mathrm{C}$ ，小型模具预冷至 $780^{\sim} 800^{\circ} \mathrm{C}$ ）（根据模具大小不同，预冷时间大约在 $3^{\sim} 8 \mathrm{~min}$ ）然后淬油；为保证淬火质量，应使油循环（油温不低于 $70^{\circ} \mathrm{C}$ ）并应控制出油温度在 $150^{\sim} 200^{\circ} \mathrm{C}$ 左右，否则可能因模具内部巨大的内应力而淬裂！生产中往往根据在油中停留时间控制出油温度，小型锻模 $15^{\sim} 20 \mathrm{~min}$ ，中型锻模 $25^{\sim} 40 \mathrm{~min}$ ，大型模具则需冷却 $40^{\sim} 60 \mathrm{~min}$ 。模具出油温度是否适宜，可通过观察模具出油后残油是否着火（约 $200^{\circ} \mathrm{C}$ ）加以确定。
回火：模具出油后应立即回火，不允许冷至室温再回火，以防开裂。回火时应注意；模具淬火状态存在巨大内应力，若直接加热至回火温度，可能会引起开裂。所以常先在 $350^{\sim} 400^{\circ} \mathrm{C}$炉内均温后再缓慢升至回火温度，回火保温时间可按锻模高度 $1.5 \sim 2.0 \mathrm{~min} / \mathrm{mm}$ 计，为充分消除内应力，并使组织均匀，一般不少于 2 h 。为防止第二类回火脆性，回火后油冷，于 $100^{\circ} \mathrm{C}$左右出油，为消除回火时油冷所造成的内应力，可在 $160^{\sim} 180^{\circ} \mathrm{C}$ 再补充一次低温回火。回火温度根据技术要求的最终硬度选择： $460^{\sim} 480^{\circ} \mathrm{C}$ 回火，硬度 $42^{\sim} 47 \mathrm{HRC}, 490^{\sim} 500^{\circ} \mathrm{C}$ 回火，硬度 $39^{\sim} 45 \mathrm{HRC}$ ，燕尾回火 $560^{\sim} 600^{\circ} \mathrm{C}$ ，硬度 $34^{\sim} 37 \mathrm{HRC}$ 。

模具出油后应立即回火，不允许冷至室温再回火 先在350~400℃炉内均温后再缓慢升至回火温度


Question: 写出一般高精度模具的制造工艺路线，并说明工艺路线中热处理工序的作用。

高精度模具制造工艺路线：毛坏——球化退火——粗加工——调质——半精加工——去应力退火——精加工——淬火回火——精磨
调质处理可细化组织，改善碳化物的弥散度和分布状态，提高淬火硬度和耐磨性。
去应力退火的目的是消除机械加工工艺过程中产生的残余应力。

毛坏—球化退火—粗加工—调质—半精加工—去应力退火—精加工—淬火回火—精磨。

调质处理可细化组织，改善碳化物的弥散度和分布状态，提高淬火硬度和耐磨性。去应力退火的目的是消除机械加工工艺过程中产生的残余应力。


Question: 过共析钢液 $\eta=0.0049 \mathrm{~Pa} \cdot \mathrm{~S}$ ，钢液的密度为 $7000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^3$ ，表面张力为 $1500 \mathrm{mN} / \mathrm{m}$ ，加铝脱氧，生成密度为 $5400 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^3$ 的 $\mathrm{Al}_2 \mathrm{O}_3$ ，如能使 $\mathrm{Al}_2 \mathrm{O}_3$ 颗粒上浮到钢液表面就能获得质量较好的钢。假如脱氧产物在$1524 mm$深处生成，试确定钢液脱氧后$2 min$上浮到钢液表面的 $\mathrm{Al}_2 \mathrm{O}_3$ 最小颗粒的尺寸。

根据流体力学的斯托克斯公式：$v=\frac{2}{9} \cdot \frac{g\left(\rho_m-\rho_B\right) r^2}{\eta}$ ，式中：$v$ 为夹杂物和气泡的上浮速度， $r$ 为气泡或夹杂的半径，$\rho_m$ 为液体合金密度，$\rho_B$ 为夹杂或气泡密度，$g$为重力加速度。

$$
r=\sqrt{\frac{9}{2} \cdot \frac{v \eta}{g\left(\rho_m-\rho_B\right)}}=1.34 \times 10^{-4}m
$$


Question: Lab centrifuge protocols: 1) 3000 RPM max for glass tubes; 4500 RPM for plastic; 2) Imbalance tolerance: ±0.5g difference between tubes; 3) Runtime capped at 10min if temperature >25°C. Current setup: 2 glass tubes (101.3g, 101.8g), 1 plastic tube (102.0g) with settings at 4000 RPM, 15min runtime, lab temp 28°C. What sequence fixes errors?\nA. Replace plastic tube with glass + reduce RPM\nB. Adjust tube weights + shorten runtime\nC. Use plastic tubes only + lower temperature\nD. Balance glass tubes + reduce RPM to 3000


Question: 红黑树一条路径上有5个红节点，则树最少有________个节点。

\(T(n)\)表示有\(n\)个节点的纯黑的红黑树。
思路：先算出来整棵树的黑高度最小情况是多少，也就是5（红黑相间的情况），注意：黑高度的定义是要除去外部节点的。然后先算左侧的路径节点的总数是11（6黑5红），然后计算其他结点\(31 + 31 + 15 + 15 + 7 + 7 + 3 + 3 + 1 + 1 = 114\)，一共是125个节点。
一般地：
\[ T(n)=2n + 1+\sum_{k = 1}^{n}2(2^{k}-1)=2^{n + 2}-3\]（\(n\) = 红色节点个数 = 树的黑高度 ）


Question:
In this problem, we will look  at the Blacklisting Memory Scheduler (BLISS) to reduce unfairness. There are two key aspects of BLISS  that you need to know.
  • When the memory controller services consecutive requests from a particular application, this  application is blacklisted. We name this non-negative integer the Blacklisting Threshold.
    • The blacklist is cleared periodically every 10000 cycles starting at t = 0.

To reduce unfairness, memory requests in BLISS are prioritized in the following order:
  • Non-blacklisted applications’ requests
  • Row buffer hit requests
  • Older requests

The memory system for this problem consists of 2 channels with 2 banks each. Tables 1 and 2 show the  memory request stream in the same bank for both applications at different times (t = 0 and t = 10). For  both tables, a request on the left-hand side is older than a request on the right-hand side in the same  table. The applications do not generate more requests than those shown in Tables 1 and 2. The memory  requests are labeled with numbers that represent the row position of the data within the accessed bank.  Assume the following for all questions:
  • Arow buffer hit takes 100 cycles.
  • Arow buffer miss (i.e., opening a row in a bank with a closed row buffer) takes 200 cycles.
  • A row buffer conflict (i.e., closing the currently open row and opening another one) takes 250  cycles.
  • All row buffers are closed at time t = 0

| Application A (Channel 0, Bank 0) |        |        |        |        |        |        |        |        |
|-----------------------------------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|
| Application B (Channel 0, Bank 0) | Row 2  | Row 2  | Row 2  | Row 2  | Row 2  | Row 3  | Row 3  | Row 4  |
Table 1: Memory requests of the two applications at t = 0

| Application A (Channel 0, Bank 0) | Row 3  | Row 7  | Row 2  | Row 0  | Row 5  | Row 3  | Row 8  | Row 9  |
|-----------------------------------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|
| Application B (Channel 0, Bank 0) | Row 2  | Row 2  | Row 2  | Row 2  | Row 2  | Row 3  | Row 3  | Row 4  |
Table 2: Memory requests of the two applications at t = 10. Note that none of the Application B’s existing requests are serviced yet.

For what value(s) of η, (the Blacklisting Threshold) will B experience the maximum
slowdown it can possibly experience with the Blacklisting Scheduler?

We already know that the slowdowns will be equal to the slowdown withFR-FCFS when η ≥ 6 or η = 0. If we execute the memory requests for the rest of possiblem values, we find that η =5 causes application B to complete after 2150 cycles. which isthe largest.


Question:
You would like to understand the configuration of the DRAM subsystem of a computer using reverse engineering techniques. Your current knowledge of the particular DRAM subsystem is limited to the following information:
● The physical memory address is 16 bits.
● The DRAM subsystem consists of a single channel and 4 banks.
● The DRAM is byte-addressable.
● The most-significant 2 bits of the physical memory address determine the bank.
● The DRAM command bus operates at 500 MHz frequency.
● The memory controller issues commands to the DRAM in such a way that no command for servicing a later request is issued before issuing a READ command for the current request, which is the oldest request in the request buffer. For example, if there are requests A and B in the request buffer, where A is the older request and the two requests are to different banks, the memory controller does not issue an ACTIVATE command to the bank that B is going to access before issuing a READ command to the bank that A is accessing.
You realize that you can observe the memory requests that are waiting to be serviced in the request buffer. At a particular point of time, you take the snapshot of the request buffer and you observe the following requests in the request buffer.
Requests in the request buffer (in descending order of request age, where the oldest request is on the top):
Read 0x4C80
Read 0x0140
Read 0x4ECO
Read 0x8000
Read 0xF000
Read 0x803F
Read 0x4E80

At the same time you take the snapshot of the request buffer, you start probing the DRAM command bus. You observe the DRAM command type and the cycle (relative to the first command) at which the command is seen on the DRAM command bus. The following are the DRAM commands you observe on the DRAM bus while the requests above are serviced.
Cycle 0 -- PRECHARGE
Cycle 6 -- ACTIVATE
Cycle 10 -- READ
Cycle 11 -- READ
Cycle 21 -- PRECHARGE
Cycle 27 -- ACTIVATE
Cycle 31 -- READ
Cycle 32 -- ACTIVATE
Cycle 36 -- READ
Cycle 37 -- READ
Cycle 38 -- READ
Cycle 42 -- PRECHARGE
Cycle 48 -- ACTIVATE
Cycle 52 -- READ

What is the row size in bytes?

The Read request to address 0x803F (to Bank 2) does not require an ACTIVATE command, which means there is a row hit for that access. The open row was activated by the command issued for the request to the address 0x8000. That means the target rows of both requests should be the same. When we look at the binary form of those addresses, we see that the least significant 6 bits are different (000000 for 0x8000 and 111111 for 0x803F). That means at least 6 of the least significant bits should be the column bits.
Later, when we look at the commands issued for the requests to 0x4ECO and 0x4E80, we see that for both of those requests, the memory controller has opened a new row. Thus, the target rows of those requests should be different. Since only the 6th bit (assuming the least significant bit is the 0th bit) is different between the two addresses, the 6th bit should be part of the row address. So, of the 6th bit is part of the row address, the number of columns bits should be 6 or less. As we previously found from the requests to 0x8000 and 0x803F that the number of column bits should be at least 6, combining those two findings we can say that the number of column bits should be exactly 6. Thus, the row size is 2^{6}=64 bytes.


Question:
已知某系统页面长 4KB，页表项 4B，虚拟地址空间为 64 位，物理地址空间 4GB。
（1）如采用多层分页策略，限定各分层页表最多占 1 页大小，请问可以采用几层分页策略？
（2）如采用倒排页表方式，请问倒排页表的大小？是每个进程一张倒排页表还是系统维护一张倒排页表？如何解决倒排页表不便于逻辑地址向物理地址转换的问题

(1)页面长 4KB，说明页内偏移地址占 12 位，虚拟地址空间 64 位，说明页号总长为 64-12=52 位。页面长 4KB，页表项 4B，故每张页表不超过 4K/4=1K=2**10** 项，即每级 页表地址长度不应该超过 10 位。页号总长 52 位/每页表最长 10 位=5.2，向上取整为 6。 即采用六层分页策略。
(2)如采用倒排页表，因为物理地址空间 4GB，故倒排页表应该有 4GB/4KB=1M 个 页 表项，每页表项大小为 4B，倒排页表大小为 1M*4B=4MB。系统维护一张倒排页表。可以使用 Hash 散列，解决倒排页表不便于逻辑地址向物理地址转换的问题。

采用六层分页策略 倒排页表大小为4MB，系统维护一张倒排页表，可使用Hash散列解决转换问题


Question: loop: ld x31, 0(x20) add x31, x31, x21 sd x31, 0(x20) addi x20, x20, -8 blt x22, x20, loop How many clock cycles does the RISC-V static dual-issue pipeline implementation require, to execute the unrolled loop body once ensuring no data hazard, if the loop is unrolled by 4? Branch can be predicted, and forwarding is implemented


Question: 某 DSP 处理器具有64 个通用寄存器，支持20位立即数。指令系统共有256条不同操作码。硬件团队规定，若采用定长指令格式，每条指令必须占用64 bit （8 Byte）并保持64 bit对齐，足以容纳：1 个操作码字段 ；最多2 个源寄存器、1 个目的寄存器；1 个 20 bit 立即数字段。一段数字信号处理程序的指令组成如下：A 类 (15%) 仅写一个目的寄存器。B 类 (35%) 读一个源寄存器，写一个目的寄存器；最常见。C 类 (25%) 读两个源寄存器，写一个目的寄存器。D 类 (15%) 读一个源寄存器、写一个目的寄存器，并带 20 位立即数。E 类 (10%) 不给源寄存器，只把 20 位立即数写入一个目的寄存器。为提高代码密度，指令采用变长编码：按实际位宽依次拼接 opcode、寄存器号、立即数等字段；只把结果对齐到最近的 1 字节，无需 64 位对齐。计算在变长指令方案下，这段程序的指令平均长度（单位：bit）。


Question:
You would like to understand the configuration of the DRAM subsystem of a computer using reverse engineering techniques. Your current knowledge of the particular DRAM subsystem is limited to the following information:
● The physical memory address is 16 bits.
● The DRAM subsystem consists of a single channel and 4 banks.
● The DRAM is byte-addressable.
● The most-significant 2 bits of the physical memory address determine the bank.
● The DRAM command bus operates at 500 MHz frequency.
● The memory controller issues commands to the DRAM in such a way that no command for servicing a later request is issued before issuing a READ command for the current request, which is the oldest request in the request buffer. For example, if there are requests A and B in the request buffer, where A is the older request and the two requests are to different banks, the memory controller does not issue an ACTIVATE command to the bank that B is going to access before issuing a READ command to the bank that A is accessing.
You realize that you can observe the memory requests that are waiting to be serviced in the request buffer. At a particular point of time, you take the snapshot of the request buffer and you observe the following requests in the request buffer.
Requests in the request buffer (in descending order of request age, where the oldest request is on the top):
Read 0x4C80
Read 0x0140
Read 0x4ECO
Read 0x8000
Read 0xF000
Read 0x803F
Read 0x4E80

At the same time you take the snapshot of the request buffer, you start probing the DRAM command bus. You observe the DRAM command type and the cycle (relative to the first command) at which the command is seen on the DRAM command bus. The following are the DRAM commands you observe on the DRAM bus while the requests above are serviced.
Cycle 0 -- PRECHARGE
Cycle 6 -- ACTIVATE
Cycle 10 -- READ
Cycle 11 -- READ
Cycle 21 -- PRECHARGE
Cycle 27 -- ACTIVATE
Cycle 31 -- READ
Cycle 32 -- ACTIVATE
Cycle 36 -- READ
Cycle 37 -- READ
Cycle 38 -- READ
Cycle 42 -- PRECHARGE
Cycle 48 -- ACTIVATE
Cycle 52 -- READ

To improve performance, you decide to implement the idea of Tiered-Latency DRAM (TL-DRAM) in the DRAM chip. Assume that a bank consists of a single subarray. With TL-DRAM, an entire bank is divided into a near-segment and far-segment. When accessing a row in the near-segment, the ACTIVATE-to-READ latency reduces by 2 cycles and the ACTIVATE-to-PRECHARGE latency reduces by 5 cycles. When accessing a row in the far-segment, the ACTIVATE-to-READ latency increases by 1 cycle and the ACTIVATE-to-PRECHARGE latency increases by 2 cycles.
Assume that the rows in the near-segment have smaller row ids compared to the rows in the far-segment. In other words, physical memory row addresses 0 through N-1 are the near-segment rows, and physical memory row addresses N through M-1 are the far-segment rows.
If the above DRAM commands are issued 5 cycles faster with TL-DRAM compared to the baseline (the last command is issued in cycle 47), how many rows are in the near-segment?

There should 59 rows in the near-segment (rows 0 to 58) since rows until row id 58 need to be accessed with low latency to get 5 cycle reduction. Rows 59 and 192 are in the far-segment, thus latency for accessing them increases slightly.
Here is the new command trace:
Cycle 0 -- PRECHARGE -- Bank 1
Cycle 6 -- ACTIVATE -- Bank 1, Row 50, near segment
Cycle 8 -- READ -- Bank 1
Cycle 9 -- READ -- Bank 0
Cycle 16 -- PRECHARGE -- Bank 1
Cycle 22 -- ACTIVATE -- Bank 1, Row 59, far segment
Cycle 27 -- READ -- Bank 1
Cycle 28 -- ACTIVATE -- Bank 2, Row 0
Cycle 30 -- READ -- Bank 2
Cycle 31 -- READ -- Bank 3
Cycle 32 -- READ -- Bank 2
Cycle 39 -- PRECHARGE -- Bank 1
Cycle 45 -- ACTIVATE -- Bank 1, Row 58, near segment
Cycle 47 -- READ -- Bank 1


Question: 假设某条总线上有 \(10\) 个处理器同时准备对同一变量加锁。如果每个总线事务处理（读不命中或写不命中）的时间是 \(100\) 个时钟周期，而且忽略对已调入 Cache 中的锁进行读写的时间以及占用该锁的时间。 1. 假设该锁在时间为 \(0\) 时被释放，并且所有处理器都在旋转等待该锁。问：所有 \(10\) 个处理器都获得该锁所需的总线事务数目是多少？ 2. 假设总线是非常公平的，在处理新请求之前，要先全部处理好已有的请求。并且各处理器的速度相同。问：处理 \(10\) 个请求大概需要多少时间？

解
当 \(i\) 个处理器争用锁的时候，它们都各自完成以下操作序列，每一个操作产生一个总线事务：
- 访问该锁的 \(i\) 个 \(LL\) 指令操作。
- 试图占用该锁（并上锁）的 \(i\) 个 \(SC\) 指令操作。
- \(1\) 个释放锁的存操作指令。

因此对于 \(i\) 个处理器来说，一个处理器获得该锁所要进行的总线事务的个数为 \(2i + 1\)。这里假设关键代码段的执行时间可以忽略不计。

假设一共有 \(n\) 个处理器。在最开始时，共有 \(n\) 个处理器在争用该锁，一个处理器胜出，完成执行后释放该锁，其总线事务的个数为 \(2n + 1\)；接下来，剩下的 \(n - 1\) 个处理器继续争用该锁，其总线事务的个数为 \(2(n - 1)+1\)；其余依此类推。由此可知，总的总线事务个数为
\[
\sum_{i = 1}^{n}(2i + 1)=n(n + 1)+n=n^{2}+2n
\]

对于 \(10\) 个处理器来说，其总线事务数为 \(120\) 个，需要 \(12000\) 个时钟周期。


Question: 一组输入MAMAMIA入栈，要求出栈顺序也为MAMAMIA，共有几种方案？

共有7种方案，注意到M和A有重复的，将其重新标记为：M1,A1,M2,A2,M3,I,A3
7种
 - M1先出栈
    - A1先出栈
        - M2先出栈，出栈顺序：M1 A1 M2 A2 M2 I A3
        - M3先出栈，出栈顺序：M1 A1 M3 A2 M2 I A3
    - A2先出栈
        - M2先出栈，出栈顺序：M1 A2 M2 A1 M3 I A3
 - M2先出栈
    - A1先出栈
        - M1先出栈，出栈顺序：M2 A1 M1 A2 M3 I A3
        - M3先出栈，出栈顺序：M2 A1 M3 A2 M1 I A3
    - A2先出栈
        - M3先出栈，出栈顺序：M2 A2 M3 A1 M1 A M3
 - M3先出栈，出栈顺序：M3 A2 M2 A1 MA I A3


Question: A malfunctioning 32 bit RISC-V cpu can't read high 16 (31:16) bits of every instruction and these bits are considered 0. Then, can this cpu: 1. successfully load word from 0x4 to any register 2. save word from any register to some memory addresses you can only use instructions in: add, sub, xor, or, and, sll, srl, sra, slt, sltu, addi, xori, ori, andi, slli, srli, srai, slti, sltiu, lb, lh, lw, lbu, lhu, sb, sh, sw, beq, bne, blt, bge, bltu, bgeu, jal, jalr, lui, auipc

1.
0x0 addi x0,x0,0
explanation: nop
0x4 auipc x1,0
explanation: x1=PC+0=4
0x8 lw rd,0(x1)
explanation:
lw is i type instruction, where last bit of rs1 is bit 15, so rs1 can be 1 which means x1 register
rd is whatever register we want to load. 0(x1)=x1+0=4, so this loads memory at 0x4 to any register.

an alternate solution is
0x0 jal x1,0x1000
0x1000 means imm[12] is 1, others are 0, and imm[12] for j type is at bit 12 which isn't zeroed.
this write PC+4=0+4=4 to x1, then
0x1000 lw rd,0(x1)

jal x1,0 is wrong because it causes infinite loop

2.
rs2 in S type instruction is forced 0, so it's impossible to save word from non-x0 register.


Question: 在植物学领域，如果我们在研究一个基因在一个群体里面，没有发生任何序列变异，但是表达却发生了明显变化，这时候我们应该如何考虑是什么因素引起了这个基因在群体里面的表达变异。

表观遗传修饰的改变（如DNA甲基化、组蛋白修饰、染色质三维空间互作、染色质可及性等）


Question: 有一个豆科共生固氮基因挖掘的任务，这是一个二分类的任务，采用伪标签的方法训练模型能否同时用伪标签同时标注正类和负类的优势在哪里？

所有的数据都可以用到 防止最终模型过拟合 使模型看待正负类的差异更加显著


Question:
请参考生物信息学的方式（代码）得到解答，
对尿毒症患者采用低蛋白并补加基本氨基酸的食物进行治疗，分析该疗法对患者体内一些成分的影响。以下数据是在治疗前患者的基本数据：
\begin{tabular}{|l|l|l|}
\hline 体重（BW） ／kg & 体内总钾（TBK） ／mmol & 血清尿素（URRA） ／（ $\mathrm{mmol} \cdot \mathrm{L}^{-1}$ ） \\
\hline 73 & 3147 & 19 \\
\hline 70 & 3647 & 36 \\
\hline 72 & 3266 & 25 \\
\hline 53 & 2650 & 25 \\
\hline 97 & 3738 & 34 \\
\hline 77 & 3982 & 36 \\
\hline 63 & 2900 & 49 \\
\hline 54 & 3194 & 38 \\
\hline 66 & 3930 & 16 \\
\hline 53 & 3419 & 34 \\
\hline 70 & 3978 & 34 \\
\hline 63 & 2747 & 26 \\
\hline 65 & 4181 & 46 \\
\hline 88 & 3678 & 41 \\
\hline 82 & 3540 & 39 \\
\hline 69 & 3912 & 19 \\
\hline 91 & 4138 & 35 \\
\hline 62 & 2896 & 43 \\
\hline 74 & 3410 & 50 \\
\hline 90 & 3679 & 23 \\
\hline 74 & 3855 & 38 \\
\hline 71 & 2750 & 50 \\
\hline 59 & 3583 & 31 \\
\hline 80 & 3268 & 47 \\
\hline 66 & 2846 & 45 \\
\hline 115 & 4804 & 65 \\
\hline 111 & 5290 & 38 \\
\hline 64 & 2960 & 45 \\
\hline 71 & 3610 & 24 \\
\hline 69 & 2905 & 31 \\
\hline
\end{tabular}
经过一年的饮食治疗后，体内总钾量与治疗前的总钾量，如下表：
\begin{tabular}{|l|l|l|}
\hline 病人号 & 治疗后 ／mmol & 治疗前 ／mmol \\
\hline 16 & 3246 & 3147 \\
\hline 22 & 3272 & 3647 \\
\hline 25 & 3110 & 3266 \\
\hline 28 & 2006 & 2650 \\
\hline 39 & 2879 & 2900 \\
\hline 47 & 3620 & 3930 \\
\hline 51 & 3597 & 3978 \\
\hline 53 & 3080 & 2747 \\
\hline 56 & 3420 & 3678 \\
\hline 38 & 2280 & 2400 \\
\hline 54 & 2360 & 2105 \\
\hline 58 & 2490 & 2530 \\
\hline
\end{tabular}
以治疗前为自变量，治疗后为因变量，计算回归方程，并检验回归的显著性。

程序中infile读取的是表格数据
所用程序及计算结果如下：
```
options linesize=76 nodate;
data uremia;
    infile 'e:\dataler10-1e.dat';
    input bw tbk urea @@;
run;
proc corr nosimple;
    var bw tbk urea;
run;
```
以及参考如下回归程序（需略微修改），程序和结果如下：
```
options linesize = 76 nodate;
data mulreg;
    infile 'e:\dataler11-1e.dat';
    input y x @@;
run;
proc reg;
    model y=x;
run;
```

The SAS System
The REG Procedure
Model: MODEL1
Dependent Variable: after
Analysis of Variance
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}
\hline Source & DF & Sum of Squares & Mean Square & F Value & Pr > F \\
\hline Model & 1 & 2573589 & 2573589 & 39.40 & <. 0001 \\
\hline Error & 10 & 653264 & 65326 & & \\
\hline Corrected Total & 11 & 3226853 & & & \\
\hline
\end{tabular}
Additional Statistics
\begin{tabular}{|l|l|l|l|}
\hline Root MSE & 255.59029 & R-Square & 0.7976 \\
\hline Dependent Mean & 2946.66667 & Adj R-Sq & 0.7773 \\
\hline Coeff Var & 8.67388 & & \\
\hline
\end{tabular}
Parameter Estimates
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}
\hline Variable & DF & Parameter Estimate & Standard Error & t Value & $\operatorname{Pr}>|\mathrm{t}|$ \\
\hline Intercept & 1 & 560.15163 & 387.31612 & 1.45 & 0.1787 \\
\hline before & 1 & 0.77447 & 0.12339 & 6.28 & <. 0001 \\
\hline
\end{tabular}
回归方程为：$\hat{Y}=560.15163+0.77447 X$
$t$ 检验的显著性概率 $P<0.0001$。故回归系数极显著。


Question:
请参考生物信息学的方式（代码）得到解答，
一种治疗肺动脉高血压的药物 treprostinil sodium，研究给药剂量与血浆浓度之间的关系，当用静脉给药时得到以下结果（近似值）：
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline 剂 量 $/\left(\mathrm{ng} \cdot \mathrm{kg}^{-1} \cdot \mathrm{~min}^{-1}\right)$ & 血浆药物浓度 ／（ $\mathrm{pg} \cdot \mathrm{mL}^{-1}$ ） \\
\hline 20 & 4750 \\
\hline 24 & 2500 \\
\hline 49 & 8000 \\
\hline 53 & 5500 \\
\hline 70 & 9000 \\
\hline 78 & 12500 \\
\hline 84 & 8000 \\
\hline 90 & 13250 \\
\hline 96 & 18250 \\
\hline 102 & 14500 \\
\hline 122 & 17500 \\
\hline 126 & 17000 \\
\hline
\end{tabular}
\text { 当用皮下给药，结果如下表（近似值）：}
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline 剂 量 $/\left(\mathrm{ng} \cdot \mathrm{kg}^{-1} \cdot \mathrm{~min}^{-1}\right)$ & 血浆药物浓度 ／（ $\mathrm{pg} \cdot \mathrm{mL}^{-1}$ ） \\
\hline 12 & 1000 \\
\hline 13 & 1750 \\
\hline 15 & 2500 \\
\hline 17 & 3750 \\
\hline 28 & 6250 \\
\hline 29 & 3250 \\
\hline 30 & 2500 \\
\hline 32 & 5250 \\
\hline 36 & 4250 \\
\hline 38 & 6250 \\
\hline 38 & 7000 \\
\hline 38 & 6750 \\
\hline 44 & 3500 \\
\hline 44 & 9750 \\
\hline 47 & 5000 \\
\hline 49 & 5750 \\
\hline 50 & 6000 \\
\hline
\end{tabular}
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline 剂 量 ／（ $\mathrm{ng} \cdot \mathrm{kg}^{-1} \cdot \mathrm{~min}^{-1}$ ） & 血浆药物浓度 ／（ $\mathrm{pg} \cdot \mathrm{mL}^{-1}$ ） \\
\hline 50 & 7500 \\
\hline 52 & 7750 \\
\hline 64 & 14250 \\
\hline 66 & 10250 \\
\hline 67 & 13000 \\
\hline 67 & 10000 \\
\hline 67 & 5750 \\
\hline 70 & 10000 \\
\hline 73 & 8750 \\
\hline 75 & 10000 \\
\hline 80 & 16250 \\
\hline 80 & 10250 \\
\hline 80 & 8500 \\
\hline 87 & 11000 \\
\hline 95 & 15250 \\
\hline 95 & 15750 \\
\hline 100 & 11250 \\
\hline
\end{tabular}
问：（1）计算皮下给药血浆药物浓度对剂量的回归方程，检验回归的显著性。
（2）比较两种给药方式的回归系数差异是否显著？

程序中infile读取的是表格数据
程序中infile读取的是表格数据
参考如下回归程序（需略微修改），程序和结果如下：
```
options linesize = 76 nodate;
data mulreg;
    infile 'e:\dataler11-1e.dat';
    input y x @@;
run;
proc reg;
    model y=x;
run;
```
The SAS System
Model: MODEL1
Dependent Variable: CONCEN
Analysis of Variance
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}
\hline Source & DF & Sum of Squares & Mean Square & F Value & Prob >F \\
\hline Model & 1 & 263507305.51 & 263507305.51 & 52.387 & 0.0001 \\
\hline Error & 10 & 50299986.153 & 5029998.6153 & & \\
\hline C Total & 11 & 313807291.67 & & & \\
\hline
\end{tabular}
Additional Statistics
\begin{tabular}{|l|l|l|l|}
\hline Root MSE & 2242.76584 & R-square & 0.8397 \\
\hline Dep Mean & 10895.83333 & Adj R-sq & 0.8237 \\
\hline C.V. & 20.58370 & & \\
\hline
\end{tabular}
Parameter Estimates
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}
\hline Variable & DF & Parameter Estimate & Standard Error & T for H0: Parameter =0 & Prob > $|\mathrm{T}|$ \\
\hline INTERCEP & 1 & 89.036517 & 1627.4120399 & 0.055 & 0.9574 \\
\hline DOSAGE & 1 & 141.883547 & 19.60286907 & 7.238 & 0.0001 \\
\hline
\end{tabular}
回归方程为：
$$
\hat{Y}=89.036517+141.883547 X
$$
从回归系数和常数项的显著性概率可知，回归系数是显著的，常数项是不显著的。
对皮下给药：
The SAS System
Model: MODEL1
Dependent Variable: CONCEN
Analysis of Variance
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}
\hline Source & DF & Sum of Squares & Mean Square & F Value & Prob > F \\
\hline Model & 1 & 401262581.37 & 401262581.37 & 84.935 & 0.0001 \\
\hline Error & 32 & 151178595.1 & 4724331.0969 & & \\
\hline C Total & 33 & 552441176.47 & & & \\
\hline
\end{tabular}
Additional Statistics
\begin{tabular}{|l|l|l|l|}
\hline Root MSE & 2173.55264 & R-square & 0.7263 \\
\hline Dep Mean & 7823.52941 & Adj R-sq & 0.7178 \\
\hline C.V. & 27.78225 & & \\
\hline
\end{tabular}
Parameter Estimates
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}
\hline Variable & DF & Parameter Estimate & Standard Error & T for H0: Parameter =0 & Prob > |T| \\
\hline INTERCEP & 1 & 301.527681 & 897.27970517 & 0.336 & 0.7390 \\
\hline DOSAGE & 1 & 139.905940 & 15.18070660 & 9.216 & 0.0001 \\
\hline
\end{tabular}
回归方程为：$\hat{Y}=301.527681+139.905940 X$
从回归系数和常数项的显著性概率可知，回归系数是显著的，常数项是不显著的。
比较两个回归系数：令前者的回归系数为 $b_1, 后者$ 的回归系数为 $b_2$ 。统计假设为：
\begin{aligned}
& H_0: \beta_1-\beta_2=0 \\
& H_A: \beta_1-\beta_2 \neq 0
\end{aligned}
$t=\frac{b_1-b_2}{\sqrt{s_{b_1}^2+s_{b_2}^2}}=\frac{141.883547-139.905940}{\sqrt{19.60286907^2+15.18070660^2}}=0.08$
显著性概率 $P=0.9366, P>0.05$ ，尚无足够理由拒绝 $H_0$ 。结论：两个回归系数的差异不显著。

$\hat{Y}=301.527681+139.905940 X$。从回归系数和常数项的显著性概率可知，回归系数是显著的，常数项是不显著的。

两个回归系数的差异不显著


Question: 结构域的功能和序列同源性的关系

具有序列同源性的蛋白质，其结构域功能往往存在一定的相似性

序列相似不一定同源，有些蛋白质序列之间可能存在相似性，但并非由共同祖先演化而来，如趋同演化


Question:
请参考生物信息学的方式（代码）得到解答，
对尿毒症患者采用低蛋白并补加基本氨基酸的食物进行治疗，分析该疗法对患者体内一些成分的影响。以下数据是在治疗前患者的基本数据：
\begin{tabular}{|l|l|l|}
\hline 体重（BW） ／kg & 体内总钾（TBK） ／mmol & 血清尿素（URRA） ／（ $\mathrm{mmol} \cdot \mathrm{L}^{-1}$ ） \\
\hline 73 & 3147 & 19 \\
\hline 70 & 3647 & 36 \\
\hline 72 & 3266 & 25 \\
\hline 53 & 2650 & 25 \\
\hline 97 & 3738 & 34 \\
\hline 77 & 3982 & 36 \\
\hline 63 & 2900 & 49 \\
\hline 54 & 3194 & 38 \\
\hline 66 & 3930 & 16 \\
\hline 53 & 3419 & 34 \\
\hline 70 & 3978 & 34 \\
\hline 63 & 2747 & 26 \\
\hline 65 & 4181 & 46 \\
\hline 88 & 3678 & 41 \\
\hline 82 & 3540 & 39 \\
\hline 69 & 3912 & 19 \\
\hline 91 & 4138 & 35 \\
\hline 62 & 2896 & 43 \\
\hline 74 & 3410 & 50 \\
\hline 90 & 3679 & 23 \\
\hline 74 & 3855 & 38 \\
\hline 71 & 2750 & 50 \\
\hline 59 & 3583 & 31 \\
\hline 80 & 3268 & 47 \\
\hline 66 & 2846 & 45 \\
\hline 115 & 4804 & 65 \\
\hline 111 & 5290 & 38 \\
\hline 64 & 2960 & 45 \\
\hline 71 & 3610 & 24 \\
\hline 69 & 2905 & 31 \\
\hline
\end{tabular}
找出三者之间显著的相关系数。

程序中infile读取的是表格数据
所用程序及计算结果如下：
```
options linesize=76 nodate;
data uremia;
    infile 'e:\dataler10-1e.dat';
    input bw tbk urea @@;
run;
proc corr nosimple;
    var bw tbk urea;
run;
```
The SAS System
Correlation Analysis
3 'VAR' Variables: BW, TBK, UREA
Pearson Correlation Coefficients / Prob > |R| under Ho: Rho $=0 / N=30$
\begin{tabular}{|l|l|l|l|}
\hline & BW & TBK & UREA \\
\hline \multirow{2}{*}{BW} & 1.00000 & 0.70594 & 0.28582 \\
\hline & 0.0 & 0.0001 & 0.1257 \\
\hline \multirow{2}{*}{Tbk} & 0.70594 & 1.00000 & 0.09661 \\
\hline & 0.0001 & 0.0 & 0.6116 \\
\hline \multirow{2}{*}{Urea} & 0.28582 & 0.09661 & 1.00000 \\
\hline & 0.1257 & 0.6116 & 0.0 \\
\hline
\end{tabular}
三个变量间，只有体重（BW）和体内总钾（TBK）间相关显著，$r=0.705$ 94。相关系数的显著性概率 $P=0.0001$。

体重(BW)与体内总钾(TBK)的相关系数显著，r=0.70594 (P=0.0001)


Question:
请参考生物信息学的方式（代码）得到解答，
两种农药＂呋喃丹＂和＂铁灭克＂，在不同 pH 条件下对土壤磷酸酶活性（ $\mathrm{mg} / \mathrm{g}$ ）的影响如下表所示：
\begin{tabular}{|l|l|l|}
\hline 缓冲液 pH & 呋喃丹 $\left(Y_1\right)$ & 铁灭克（ $Y_2$ ） \\
\hline 7.9 & 0.19 & 0.10 \\
\hline 8.3 & 1.37 & 0.79 \\
\hline 8.7 & 1.31 & 1.09 \\
\hline 9.1 & 1.65 & 1.21 \\
\hline 9.3 & 1.49 & 1.29 \\
\hline 9.6 & 1.12 & 0.87 \\
\hline 10.0 & 1.07 & 0.78 \\
\hline 10.5 & 0.31 & 0.22 \\
\hline 11.0 & 0.12 & 0.10 \\
\hline
\end{tabular}
通过回归方程求出磷酸酶活性达到最大值时的 pH 值，以及在该 pH 时磷酸酶的活性值。

程序中infile读取的是表格数据
```
options linesize=76 nodate;
data stepreg;
    infile 'e:\dataler11-5e.dat';
    input xl y;
    x2=x1**2;
run;
proc reg;
    model y=x1 x2;
run;
```
（1）呋喃丹：
The SAS System
The REG Procedure
Model: MODEL1
Dependent Variable: y1
Analysis of Variance
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}
\hline Source & DF & Sum of Squares & Mean Square & F Value & Pr > F \\
\hline Model & 2 & 2.25859 & 1.12929 & 12.37 & 0.0074 \\
\hline Error & 6 & 0.54770 & 0.09128 & & \\
\hline Corrected Total & 8 & 2.80629 & & & \\
\hline
\end{tabular}
Additional Statistics
\begin{tabular}{|l|l|l|l|}
\hline Root MSE & 0.30213 & R-Square & 0.8048 \\
\hline Dependent Mean & 0.95889 & Adj R-Sq & 0.7398 \\
\hline Coeff Var & 31.50847 & & \\
\hline
\end{tabular}
Parameter Estimates
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}
\hline Variable & DF & Parameter Estimate & Standard Error & t Value & $\operatorname{Pr}>|\mathrm{t}|$ \\
\hline Intercept & 1 & -41.71019 & 9.89391 & -4.22 & 0.0056 \\
\hline x1 & 1 & 9.34395 & 2.10852 & 4.43 & 0.0044 \\
\hline x2 & 1 & -0.50595 & 0.11147 & -4.54 & 0.0039 \\
\hline
\end{tabular}
回归方程为：$\hat{Y}=-41.71019+9.34395 X-0.50595 X^2$。一次项和二次项的回归系数都是极显著的。
最大值的计算： $1.0119 X=9.34395 X=9.23406 Y=1.43113$
故当pH 9.23406 时磷酸酶活性有最大值，其最大值为 1.43113 。

（2）铁灭克：
The SAS System
The REG Procedure
Model: MODEL2
Dependent Variable: y2
Analysis of Variance
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}
\hline Source & DF & Sum of Squares & Mean Square & F Value & $\mathrm{Pr}>\mathrm{F}$ \\
\hline Model & 2 & 1.46564 & 0.73282 & 15.38 & 0.0044 \\
\hline Error & 6 & 0.28596 & 0.04766 & & \\
\hline Corrected Total & 8 & 1.75160 & & & \\
\hline
\end{tabular}
Additional Statistics
\begin{tabular}{|l|l|l|l|}
\hline Root MSE & 0.21831 & R-Square & 0.8367 \\
\hline Dependent Mean & 0.71667 & Adj R-Sq & 0.7823 \\
\hline Coeff Var & 30.46194 & & \\
\hline
\end{tabular}
Parameter Estimates
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}
\hline Variable & DF & Parameter Estimate & Standard Error & t Value & $\operatorname{Pr}>|\mathrm{t}|$ \\
\hline Intercept & 1 & -35.50332 & 7.14903 & -4.97 & 0.0025 \\
\hline x1 & 1 & 7.88157 & 1.52355 & 5.17 & 0.0021 \\
\hline x2 & 1 & -0.42419 & 0.08054 & -5.27 & 0.0019 \\
\hline
\end{tabular}
回归方程为：
$\hat{Y}=-35.50332+7.88157 X-0.42419 X^2$
一次项和二次项的回归系数都是极显著的。
最大值的计算： $0.84838 X=7.88157，X=9.29014 Y=1.10713$故当 pH 9.29014 时磷酸酶活性有最大值，其最大值为 1.10713。


Question:
请参考生物信息学的方式（代码）得到解答，
人工测定蚊密度与气温存在以下关系：
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|}
\hline 序号 & 蚊密度＊ & 气温 $/{ }^{\circ} \mathrm{C}$ & 序号 & 蚊密度＊ & 气温 $/^{\circ} \mathrm{C}$ & 序号 & 蚊密度＊ & 气温 $/{ }^{\circ} \mathrm{C}$ \\
\hline 1 & 52.8 & 23.0 & 11 & 134.3 & 25.3 & 21 & 193.7 & 27.9 \\
\hline 2 & 104.4 & 23.5 & 12 & 162.7 & 27.2 & 22 & 165.1 & 27.4 \\
\hline 3 & 74.7 & 21.9 & 13 & 341.4 & 28.3 & 23 & 74.9 & 28.7 \\
\hline 4 & 79.6 & 23.7 & 14 & 292.4 & 29.3 & 24 & 102.1 & 26.8 \\
\hline 5 & 43.8 & 22.5 & 15 & 265.2 & 27.8 & 25 & 185.0 & 24.4 \\
\hline 6 & 47.5 & 21.0 & 16 & 230.6 & 28.3 & 26 & 175.8 & 25.0 \\
\hline 7 & 191.5 & 24.9 & 17 & 259.8 & 30.1 & 27 & 203.5 & 26.3 \\
\hline 8 & 157.8 & 25.6 & 18 & 148.5 & 29.4 & 28 & 138.5 & 23.3 \\
\hline 9 & 204.3 & 26.0 & 19 & 331.4 & 30.2 & 29 & 93.1 & 26.6 \\
\hline 10 & 232.8 & 25.5 & 20 & 326.3 & 27.5 & 30 & 97.0 & 24.8 \\
\hline
\end{tabular}
注：＊单位：只 $/ \mathrm{h}$ 。
以气温作为自变量，蚊密度作为因变量，求回归方程。

程序中infile读取的是表格数据
参考如下回归程序（需略微修改），程序和结果如下：
```
options linesize = 76 nodate;
data mulreg;
    infile 'e:\dataler11-1e.dat';
    input y x @@;
run;
proc reg;
    model y=x;
run;
```
The SAS System
The REG Procedure
Model: MODEL1
Dependent Variable: density
Analysis of Variance
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}
\hline Source & DF & Sum of Squares & Mean Square & F Value & Pr>F \\
\hline Model & 1 & 103565 & 103565 & 25.51 & <. 0001 \\
\hline Error & 28 & 113674 & 4059.77886 & & \\
\hline Corrected Total & 29 & 217239 & & & \\
\hline
\end{tabular}
Additional Statistics
\begin{tabular}{|l|c|c|c|}
\hline Root MSE & 63.71639 & R-Square & 0.4767 \\
\hline Dependent Mean & 170.35000 & Adj R-Sq & 0.4580 \\
\hline Coeff Var & 37.40323 & & \\
\hline
\end{tabular}
Parameter Estimates
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}
\hline Variable & DF & Parameter Estimate & Standard Error & t Value & $\operatorname{Pr}>|\mathrm{t}|$ \\
\hline Intercept & 1 & -459.98640 & 125.34184 & -3.67 & 0.0010 \\
\hline temp & 1 & 24.17552 & 4.78653 & 5.05 & <. 0001 \\
\hline
\end{tabular}
由以上结果得到回归方程：
$$
\hat{Y}=-459.98640+24.17552 X
$$
方差分析表：
\begin{tabular}{ccccrc}
\hline 变差来源 & 平方和 & 自由度 & 均方 & $F$ & $P$ \\
\hline 回 归 & 103565 & 1 & 103565 & 25.51 & $<0.0001$ \\
剩 余 & 113674 & 28 & 4059.77886 & & \\
\hline 总 和 & 217239 & 29 & & & \\
\hline
\end{tabular}


Question: 阐述先天性巨结肠病的特征与遗传机制

主要病理改变是远端肠组织中肌间神经丛和黏膜下神经丛中的神经节细胞缺失。

遗传背景复杂，家族性遗传占20%，其余为散发型。相关致病基因突变包括RET、GDNF、GFRa1、NRTN、EDNRE、ET3、ZFHX1B、PPHOX2b、SOX10等。


Question: 孟德尔七大性状的具体调控基因都是什么？

种子形状：PsSBEI2 的R基因

花朵颜色：bHLH 转录因子的 A 基因

种子颜色：PsSGR的I基因

植株高度：编码赤霉素 3-氧化酶 1（PsGA3ox1）的 Le 基因

果荚颜色：叶绿素合成酶（PsCHIG）的 gp 基因

果荚圆皱：MYB转录因子（PsMYB26）的V 基因和编码 CLE 肽（PsCLEs）的P基因

花的位置：CIK 样共受体激酶（PsCIK2/3）的Fa基因


Question: 在确定了蛋白质结构相似后，如何不通过做实验，初步确定这个蛋白质的功能是什么？

通过数据库进行结构搜索，如PDB 利用深度学习模型预测 分析蛋白质结构域和保守位点 分析蛋白质互作网络


Question: 基于图的泛基因组组装有哪些优势？

图泛基因组可以把不同样本的变异（SNP、Indel、SV）都嵌到同一个图里，比如一个分叉表示插入/缺失，能完整保留所有样本的多样性

在图结构中，reads可以沿着不同的路径比对，特别是对于大范围的结构变异和重复区域时，graph-based基因组可以给出更好的匹配

基于图的组装，可以识别并保留各个样本中特有的新序列，更好的寻找新品种特有的基因和群体特异的功能序列

扩展灵活，每加入一个新样本，不用重建整个组装，只需要在现有图上增加新的分支


Question: 如何对植物单细胞转录组的不同cell cluster进行注释？

使用该物种已知功能基因
使用其他模式植物同源基因进行注释
结合空间转录组的结果作为参考
使用一些已知的数据库
对cell cluster的marker genes进行实验验证


Question: 采用伪标签的方法来识别还未鉴定的基因是否是固氮相关基因，我先用已知的固氮相关基因和一部分非固氮相关的基因来训练一个初始分类器，这个分类器的performance很强，会有什么问题？

后续无法进行迭代 分类器过拟合导致后续分类错误 分类器的提升空间不大


Question: 在植物里，如何判断两个互作基因的上下游关系？

通过遗传学上位性分析（互补实验）判断。在A基因突变体中表达B基因，若表型恢复，则B在A下游；反之亦然。


Question: 已知近缘种间表型有差异，现有各自的基因组和转录组数据。如何筛选可能造成表型差异的候选基因。

进行基因组比对，鉴定结构变异位点。

将结构变异位点分类，筛选出存在结构变异的候选基因（上下游2kb，外显子与内含子区域）。如果是在基因上下游区域存在变异，检查是否存在重复序列插入或确实，如果在外显子或内含子区域存在变异检查是否导致蛋白序列变化。

基于转录组数据，若候选基因与其参考同源基因表达模式存在变化，则纳入候选基因。


Question: 泛基因组工作内容通常包括哪些方面？

利用泛基因组数据确定相关物种的系统发育关系 关联表型差异与结构变异，为挖掘候选基因提供重要信息 针对候选基因进行泛基因组层面的演化分析


Question:
请参考生物信息学的方式（代码）得到解答，
在一项关于碳酸利多卡因注射液热稳定性的实验研究中，发现 $\mathrm{NaHCO}_3$ 的比值 （自变量）与相变点温度（因变量）存在以下关系：
\begin{tabular}{|l|l|l|}
\hline 序号 & $\mathrm{NaHCO}_3$ 的比值 （自变量） & 相变点温度 $/{ }^{\circ} \mathrm{C}$ （因变量） \\
\hline 1 & 1.00 & 54.1 \\
\hline 2 & 1.50 & 48.0 \\
\hline 3 & 1.81 & 46.6 \\
\hline 4 & 2.50 & 41.1 \\
\hline 5 & 2.91 & 39.1 \\
\hline 6 & 3.87 & 35.5 \\
\hline 7 & 5.00 & 32.9 \\
\hline 8 & 5.80 & 29.6 \\
\hline 9 & 7.50 & 26.8 \\
\hline 10 & 8.39 & 25.1 \\
\hline 11 & 10.00 & 22.4 \\
\hline
\end{tabular}
求出回归方程。

程序中infile读取的是表格数据
参考如下回归程序（需略微修改），程序和结果如下：
```
options linesize = 76 nodate;
data mulreg;
    infile 'e:\dataler11-1e.dat';
    input y x @@;
run;
proc reg;
    model y=x;
run;
```
The SAS System
The REG Procedure
Model: MODEL1
Dependent Variable: temp
Analysis of Variance
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}
\hline Source & DF & Sum of Squares & Mean Square & F Value & Pr>F \\
\hline Model & 1 & 966.81811 & 966.81811 & 97.17 & <. 0001 \\
\hline Error & 9 & 89.54371 & 9.94930 & & \\
\hline Corrected Total & 10 & 1056.36182 & & & \\
\hline
\end{tabular}
Additional Statistics
\begin{tabular}{|l|l|l|l|}
\hline Root MSE & 3.15425 & R-Square & 0.9152 \\
\hline Dependent Mean & 36.47273 & Adj R-Sq & 0.9058 \\
\hline Coeff Var & 8.64825 & & \\
\hline
\end{tabular}
Parameter Estimates
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}
\hline Variable & DF & Parameter Estimate & Standard Error & t Value & $\operatorname{Pr}>|\mathrm{t}|$ \\
\hline Intercept & 1 & 51.31644 & 1.78099 & 28.81 & <. 0001 \\
\hline rate & 1 & -3.24743 & 0.32943 & -9.86 & <. 0001 \\
\hline
\end{tabular}
由此得出回归方程：$\hat{Y}=51.31644-3.24743 X$
回归系数的 $t$ 检验和回归模型的方差分析都指出回归极显著。


Question:
请参考生物信息学的方式（代码）得到解答，
野生型 C57BL／6 及 STAT－1－／－型小鼠胰岛，在移入自发糖尿病的 NOD ${ }^{\#}$ 小鼠中之后的存活天数见下表：
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|}
\hline \multirow{2}{*}{实验材料} & \multicolumn{4}{|c|}{养生处理} \\
\hline & 未处理 & IL－1ra＊ & CsA＊＊ & IL－1ra＋CsA \\
\hline \multirow{2}{*}{野生型 C57BL／6} & 0 0 2 5 5 & \multirow{2}{*}{0 5 8 12 12 15} & \multirow{2}{*}{8 8 8 10 10 11 18} & \multirow{2}{*}{5 10 11 11 12 16 20} \\
\hline & 11 11 12 13 13 15 17 & & & \\
\hline STAT－1－／－型 & 6 10 10 13 & 10 12 & 5 13 14 & 10 11 11 12 12 13 \\
\hline
\end{tabular}
注：\＃NOD：nonobese diabetic（非肥胖糖尿病）。
＊IL－1ra：interleukin -1 receptor antagonist（白介素 -1 受体拮抗物）。
＊＊CsA：cyclosporine A（环孢菌素 A）。
对上述结果进行方差分析，判断两种类型小鼠的胰岛存活天数差异是否显著？不同养生处理对移植的胰岛存活天数的影响是否显著？不同养生处理与不同型小鼠之间是否存在交互作用？

本题的两个主效应和它们的交互作用都是不显著因素。程序中infile读取的是表格数据
这是一个重复数不等的两因素固定模型实验，所用程序及计算结果如下。
```
options linesize=76 nodate;
data mouse;
    infile 'e:\datalexr9-5e.dat';
    do treat=1 to 3;
        do type=1 to 2;
            inputn@@;
            do repetit=1 to n;
                input days @@;
                output;
            end;
        end;
    end;
run;
proc glm;
    class treat type;
    model days=treat type treat*type ;
run;
```
The SAS System
General Linear Models Procedure
Dependent Variable: DAYS
Analysis of Variance
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}
\hline Source & DF & Sum of Squares & Mean Square & F Value & Pr>F \\
\hline Model & 7 & 81.7459473 & 11.6779925 & 0.55 & 0.7939 \\
\hline Error & 39 & 833.4880952 & 21.3714896 & & \\
\hline Corrected Total & 46 & 915.2340426 & & & \\
\hline
\end{tabular}
Additional Statistics
\begin{tabular}{|l|l|l|l|}
\hline R-Square & C.V. & Root MSE & DAYS Mean \\
\hline 0.089317 & 45.64659 & 4.62293 & 10.1277 \\
\hline
\end{tabular}
Type I SS
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}
\hline Source & DF & Type I SS & Mean Square & F Value & Pr>F \\
\hline TREAT & 3 & 67.9880108 & 22.6626703 & 1.06 & 0.3770 \\
\hline TYPE & 1 & 8.0410256 & 8.0410256 & 0.38 & 0.5432 \\
\hline TREAT*TYPE & 3 & 5.7169109 & 1.9056370 & 0.09 & 0.9656 \\
\hline
\end{tabular}
Type III SS
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}
\hline Source & DF & Type III SS & Mean Square & F Value & $\mathrm{Pr}>\mathrm{F}$ \\
\hline TREAT & 3 & 60.4851648 & 20.1617216 & 0.94 & 0.4290 \\
\hline TYPE & 1 & 8.0762698 & 8.0762698 & 0.38 & 0.5423 \\
\hline TREAT*TYPE & 3 & 5.7169109 & 1.9056370 & 0.09 & 0.9656 \\
\hline
\end{tabular}
本题的两个主效应和它们的交互作用都是不显著因素。以上结果可以归纳成下表：
\begin{tabular}{crccrc}
\hline 变差来源 & \multicolumn{1}{c}{ 平方和 } & 自由度 & 均方 & $F$ & $P$ \\
\hline 处理间 & 67.9880108 & 3 & 22.6626703 & 1.06 & 0.3370 \\
类型间 & 8.0410256 & 1 & 8.0410256 & 0.38 & 0.5432 \\
处理×类型 & 5.7169109 & 3 & 1.9056370 & 0.09 & 0.9656 \\
误 差 & 833.4880952 & 39 & 21.3714896 & & \\
\cline { 1 - 3 } 总 和 & 915.2340426 & 46 & & &
\end{tabular}

不显著 不显著 不存在显著的交互作用


Question:
请参考生物信息学的方式（代码）得到解答，
用 18 种不同水体配制成培养基，培养基中的磷（P）浓度及用该培养基培养的玫瑰拟衣藻（Chloromonas rosae）的生长速率见下表：
\begin{tabular}{|l|l|l|}
\hline 水体号 & P 浓度／（ $\mathrm{mg} \cdot \mathrm{L}^{-1}$ ） & 生长速率／（ $\mu$ ） \\
\hline 1 & 0.1010 & 0.2440 \\
\hline 2 & 0.0820 & 0.1989 \\
\hline 3 & 0.0610 & 0.2382 \\
\hline 4 & 0.0280 & 0.2460 \\
\hline 5 & 0.0300 & 0.1716 \\
\hline 6 & 0.0320 & 0.2163 \\
\hline 7 & 0.2100 & 0.4138 \\
\hline 8 & 0.1500 & 0.3328 \\
\hline 9 & 0.1600 & 0.2684 \\
\hline 10 & 0.0168 & 0.0948 \\
\hline 11 & 0.0120 & 0.0993 \\
\hline 12 & 0.0128 & 0.1650 \\
\hline 13 & 0.0084 & 0.0915 \\
\hline 14 & 0.0060 & 0.0067 \\
\hline 15 & 0.0064 & 0.0592 \\
\hline 16 & 0.0042 & 0.0333 \\
\hline 17 & 0.0030 & 0.0198 \\
\hline 18 & 0.0032 & －0．0147 \\
\hline
\end{tabular}
以 $P$ 浓度为自变量，生长速率为因变量，求出回归方程，并检验回归的显著性。

程序中infile读取的是表格数据
对自变量（ P 浓度）做自然对数变换，用变换后的数据进行分析。程序和结果如下：
```
options linesize=76 nodate;
data leaves;
    infile 'e:\dataler10-16e.dat';
    input p rate @ @;
        x=log(p); y=rate;
run;
proc gplot;
    plot y*x;
proc reg;
    model y=x;
run;
```
The SAS System
The REG Procedure
Model: MODEL1
Dependent Variable: y
Analysis of Variance
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}
\hline Source & DF & Sum of Squares & Mean Square & F Value & $\mathrm{Pr}>\mathrm{F}$ \\
\hline Model & 1 & 0.21685 & 0.21685 & 128.01 & <. 0001 \\
\hline Error & 16 & 0.02710 & 0.00169 & & \\
\hline Corrected Total & 17 & 0.24395 & & & \\
\hline
\end{tabular}
Additional Statistics
\begin{tabular}{|l|l|l|l|}
\hline Root MSE & 0.04116 & R-Square & 0.8889 \\
\hline Dependent Mean & 0.16027 & Adj R-Sq & 0.8820 \\
\hline Coeff Var & 25.67984 & & \\
\hline
\end{tabular}
Parameter Estimates
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}
\hline Variable & DF & Parameter Estimate & Standard Error & t Value & $\operatorname{Pr}>|\mathrm{t}|$ \\
\hline Intercept & 1 & 0.46581 & 0.02869 & 16.23 & <. 0001 \\
\hline x & 1 & 0.08059 & 0.00712 & 11.31 & <. 0001 \\
\hline
\end{tabular}
回归方程为：$\hat{Y}=0.46581+0.08059 \ln X$
回归系数显著性检验表明，回归是显著的。


Question: 如何快速找出调控某个表型的主效基因？

使用全基因组关联分析定位自然群体中关联位点

构建F2，F2:3群体，使用KASP标记对区间进行缩短

构建次级群体，对区间进行进一步缩短

在定位区间内结合基因表达情况，筛选候选基因，如籽粒表型需要筛选在籽粒中存在表达或者特异表达的基因

结合所有已知QTL进行meta分析


Question:
请参考生物信息学的方式（代码）得到解答，
粤东近海渔场雄性条尾鲱鲤4月份和9月份的体重和体长的测定结果如下表
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|}
\hline \multirow{2}{*}{序号} & \multicolumn{2}{|c|}{4月份} & \multicolumn{2}{|c|}{9月份} \\
\hline & 体重／g & 体长／cm & 体重／g & 体长／cm \\
\hline 1 & 59.7 & 14.0 & 38.9 & 12.7 \\
\hline 2 & 50.1 & 13.0 & 31.9 & 11.9 \\
\hline 3 & 37.1 & 12.0 & 21.2 & 10.3 \\
\hline 4 & 36.2 & 11.6 & 17.2 & 9.9 \\
\hline 5 & 41.2 & 11.2 & 11.7 & 9.6 \\
\hline 6 & 26.6 & 10.6 & 14.6 & 9.1 \\
\hline 7 & 26.5 & 10.2 & 10.2 & 8.6 \\
\hline 8 & 24.1 & 9.9 & 9.1 & 8.2 \\
\hline 9 & 20.1 & 9.1 & 8.4 & 8.1 \\
\hline 10 & 16.5 & 8.9 & 9.0 & 8.0 \\
\hline 11 & 11.7 & 7.6 & 8.3 & 8.0 \\
\hline 12 & 5.0 & 6.6 & 6.2 & 7.2 \\
\hline
\end{tabular}
一般来说，鱼的体重 $(Y)$ 在体长 $(X)$ 上的回归符合以下关系：$Y=a X^b$ 。计算回归方程，检验回归的显著性，并比较 4 月份和 9 月份两个回归系数的差异是否显著。

程序中infile读取的是表格数据
记 4 月份的样本为样本 1， 9 月份的样本为样本 2。程序和结果如下：
```
options linesize = 76 nodate;
data river;
    infile 'E:\dataler10-6e.dat';
    input fw fl nw nl @@;
        y1=log10(fw); x1=log10(fl);
        y2=log10(nw); x2=log10(nl);
proc reg;
    model yl=xl;
        model y2=x2;
symbol v=star i=rl l=1 w=2 c=black;
proc gplot;
    plot y1*x1;
        plot y2*x2;
run;
```
（1）4月份的回归分析和回归线：
The SAS System
The REG Procedure
Model: MODEL1
Dependent Variable: y1
Analysis of Variance
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}
\hline Source & DF & Sum of Squares & Mean Square & F Value & Pr >F \\
\hline Model & 1 & 0.94059 & 0.94059 & 260.55 & <. 0001 \\
\hline Error & 10 & 0.03610 & 0.00361 & & \\
\hline Corrected Total & 11 & 0.97669 & & & \\
\hline
\end{tabular}
Additional Statistics
\begin{tabular}{|l|l|l|l|}
\hline Root MSE & 0.06008 & R-Square & 0.9630 \\
\hline Dependent Mean & 1.39473 & Adj R-Sq & 0.9593 \\
\hline Coeff Var & 4.30790 & & \\
\hline
\end{tabular}
Parameter Estimates
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}
\hline Variable & DF & Parameter Estimate & Standard Error & t Value & $\operatorname{Pr}>|\mathrm{t}|$ \\
\hline Intercept & 1 & -1.72319 & 0.19394 & -8.89 & <. 0001 \\
\hline x 1 & 1 & 3.09439 & 0.19170 & 16.14 & <. 0001 \\
\hline
\end{tabular}
对数尺度下的回归方程和回归线为：
$$
\hat{Y}=-1.72319+3.09439 X
$$
从 $t$ 的显著性概率可以得知，常数项和回归系数都是显著的。
（2） 9 月份的回归分析和回归线：
The SAS System
The REG Procedure
Model: MODEL1
Dependent Variable: y2
Analysis of Variance
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}
\hline Source & DF & Sum of Squares & Mean Square & F Value & Pr > F \\
\hline Model & 1 & 0.65994 & 0.65994 & 320.79 & <. 0001 \\
\hline Error & 10 & 0.02057 & 0.00206 & & \\
\hline Corrected Total & 11 & 0.68051 & & & \\
\hline
\end{tabular}
Additional Statistics
\begin{tabular}{|l|c|c|c|}
\hline Root MSE & 0.04536 & R-Square & 0.9698 \\
\hline Dependent Mean & 1.12048 & Adj R-Sq & 0.9667 \\
\hline Coeff Var & 4.04795 & & \\
\hline
\end{tabular}
Parameter Estimates
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}
\hline Variable & DF & Parameter Estimate & Standard Error & t Value & $\operatorname{Pr}>|\mathrm{t}|$ \\
\hline Intercept & 1 & -2.04592 & 0.17727 & -11.54 & $<.0001$ \\
\hline x 2 & 1 & 3.28993 & 0.18368 & 17.91 & $<.0001$ \\
\hline
\end{tabular}
对数尺度下的回归方程和回归线为：
$$
\hat{Y}=-2.04592+3.28993 X
$$
从 $t$ 的显著性概率可以得知，常数项和回归系数都是显著的。
（3）回归系数的比较：
统计假设为：
$\begin{aligned} & H_0: \beta_1-\beta_2=0 \\ & H_A: \beta_1-\beta_2 \neq 0\end{aligned}$
$t=\frac{b_1-b_2}{\sqrt{s_1^2+s_{b_2}^2}}=\frac{|3.09439-3.28993|}{\sqrt{0.19170^2+0.18368^2}}=0.7365$
显著性概率 $P=0.47, P>0.05$ ，尚无足够理由拒绝 $H_0$ 。结论：两个回归系数的差异不显著。

两个回归系数的差异不显著。


Question:
在竖直平面内设置铰链\(O\)，将一个光滑木板一边接在铰链上，木板可以在竖直平面上沿着铰链\(O\)无摩擦旋转，将一个质量为\(m\)的光滑小球放于木板上贴近\(O\)的位置，初始时小球静止，木板垂直于地面（即初始\(\theta = 0\)），并始终匀速绕\(O\)逆时针旋转，角速度为\(\omega\)。
（1）当\(\theta=\frac{\pi}{2}\)时，小球恰好脱离木板. 求木板边\(OA\)的长度；
（2）在（1）问情况下，小球脱离木板后，刚好跃上了一边的平台，平台边\(B\)和铰链\(O\)等高，求\(OB\)两点之间的距离。

（1）以\(O\)为极点，\(O\)与地面的垂线为极轴建立极坐标系。
在切向满足\(\dot{\theta}=\omega\)，径向满足
\[
mg\cos\theta = ma_{r}=m(\ddot{r}-\omega^{2}r)
\]
即
\[
\ddot{r}-\omega^{2}r = g\cos(\omega t)
\]
其齐次方程为
\[
\ddot{r}-\omega^{2}r = 0
\]
对应的通解为
\[
r = Ae^{\omega t}+Be^{-\omega t}
\]
设原方程特解形式：\(r = C\cos\omega t\)，代入原方程可得
\[
-\omega^{2}C\cos(\omega t)-\omega^{2}C\cos(\omega t)=g\cos(\omega t)
\]
得\(C = -\frac{g}{2\omega^{2}}\)即原方程的一个特解为
\[
r = -\frac{g}{2\omega^{2}}\cos\omega t
\]
从而原来得非齐次方程的通解为
\[
r = -\frac{g}{2\omega^{2}}\cos\omega t + Ae^{\omega t}+Be^{-\omega t}
\]
考虑初始条件，\(t = 0\)时，\(r = 0\)，\(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}=0\)。则解为
\[
r = -\frac{g}{2\omega^{2}}\cos\omega t+\frac{g}{4\omega^{2}}(e^{\omega t}+e^{-\omega t})
\]
即
\[
r = \frac{g}{2\omega^{2}}(\cosh\omega t-\cos\omega t)
\]
当\(\theta=\frac{\pi}{2}\)时，小球恰好脱离木板，此时
\[
r = \frac{g}{2\omega^{2}}\cosh\frac{\pi}{2}=L_{OA}
\]
即为木板边\(OA\)的长度。

（2）脱离木板时，小球水平速度
\[
v_{x}=\left.\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}\right|_{t = \frac{\pi}{2\omega}}=\frac{g}{2\omega}(\sinh\frac{\pi}{2}+1)
\]
竖直速度
\[
v_{y}=\omega L_{OA}=\frac{g}{2\omega}\cosh\frac{\pi}{2}
\]
从而当小球落到台子上时，小球的水平位移为
\[
\Delta L=\frac{2v_{y}}{g}v_{x}=\frac{g}{2\omega^{2}}(\sinh\frac{\pi}{2}+1)\cosh\frac{\pi}{2}
\]
从而\(OB\)两点之间的距离为
\[
L_{OB}=L_{OA}+\Delta L=\frac{g}{2\omega^{2}}(\sinh\frac{\pi}{2}+2)\cosh\frac{\pi}{2}
\]


Question: 一根长为L的无弹性重链条，被左右对称地放在一个定滑轮上面，并使它从一端开始滑落。请问速度多少的时候这个链条会离开滑轮。


Question: 一个小磁铁质量为m，被一根长度为1m的线悬挂着。此时从远处慢慢移动一个同样的磁铁靠近它，保持它们吸引，且始终处于同一水平线。当两个磁铁间的水平距离为2cm时，被悬挂的磁铁距离原始位置的水平偏移为1cm，且达到随动平衡。假设这两个磁铁间的距离x和相互作用力F的关系$F=k x^n$，求系数n为多少


Question: 三个质量分别为m，2m，3m的小球A，B，C（可视为质点）固定在三根长度为L的轻质刚性杆上，三根杆铰接于O点且均可绕此铰接点自由光滑转动。现将上述系统放置在一光滑水平面上，杆之间的夹角均为\(120^{\circ}\)。系统初始时静止，现给予小球C一个垂直于杆的速度\(v_0\)。试求小球C获得速度后的瞬间，小球A，B，C的加速度。

三小球在地面系中加速度均沿杆方向，且系统不受合外力，故
\(m\vec{a}_A + 2m\vec{a}_B + 3m\vec{a}_C = 0\)
推出
\(a_A = 2a_B = 3a_C \quad (1)\)
设O点加速度为\(\vec{a}\)，注意到在O点参考系中，对B而言，分析其径向加速度\(a_{Br}=\ddot{r}-r\dot{\theta}^2\)，由于相对于O静止，故没有向心加速度，\(r\dot{\theta}^2\)一项为零，由于杆不可伸缩，故\(\ddot{r}\)一项为零。因此\(a_{Br} = 0\)，B在O参考系中的加速度只能沿切向方向（垂直于杆），故
\(\vec{a}_B' = (\vec{a}_B - \vec{a})\perp\vec{a}_B \quad (2)\)
同理对A分析可得
\(\vec{a}_A' = (\vec{a}_A - \vec{a})\perp\vec{a}_A \quad (3)\)
由\((2)\)、\((3)\)
可推出
\(\begin{cases}
a\cos\theta = a_B \\
a\cos(120^{\circ}-\theta) = a_A
\end{cases}\)
结合\((1)\)可得
\(\cos(120^{\circ}-\theta) = 2\cos\theta \quad (4)\)
解得
\(\cos\theta = \frac{\sqrt{21}}{14} \quad (5)\)
故\(a = \frac{2}{3}\sqrt{21}a_B = \sqrt{21}a_C\)变换到O点参考系，对C分析径向加速度得
\(a_{C}+a\cos(\theta - 60^{\circ})=\frac{v_{0}^{2}}{L}\) （6），解出三个方程即可。


Question: 你见过美丽的 Koch 曲线吗？Koch 曲线的形状可以视作由一个正三角形经过无限次分形迭代生成，每一次只需要将其每一条边转化为四条更短的边。小明有一天不知从哪掓来了一个质量为 $m$ 的由边长为 $a$ 的正三角形生成的 Koch 曲线作为形状的铁丝圈，其质量在其形状上由几何关系按比例分布。小明想用它来做三线摆实验。他用长为 $l$ 的细线坚直地将原来正三角形的三个顶点悬吊在天花板下，并微微地转动 Koch 曲线。求 Koch曲线做小振动的周期。

解：考虑一条边。质心位置：

$$
\begin{gathered}
y=\frac{2 \times \frac{y}{3}+2 \times\left(\frac{\sqrt{3}}{12} a+\frac{y}{6}\right)}{4} \#(1) \\
y=\frac{\sqrt{3}}{18} a \#(2)
\end{gathered}
$$

转动惯量：

$$
\begin{gathered}
\Delta I_1=\frac{1}{12} m\left(\left(\frac{1}{3} a\right)^2+\left(\frac{2}{3} y\right)^2\right)=\frac{7}{729} m a^2 \#(3) \\
\Delta I_2=\frac{1}{12} m\left(\left(\frac{1}{12} a+\frac{\sqrt{3}}{6} y\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{12} a+\frac{y}{6}-y\right)^2\right)=\frac{1}{729} m a^2 \#(4) \\
l^{\prime}=\frac{1}{4} \times\left(\frac{1}{3}\right)^2 l=\frac{l}{36} \#(5) \\
l=2\left(I^{\prime}+\Delta I_1\right)+2\left(l^{\prime}+\Delta I_2\right) \#(6) \\
l=\frac{2}{81} m a^2 \#(7) \\
I_c=3\left(l+\frac{1}{3} m\left(\frac{1}{2 \sqrt{3}} a+y\right)^2\right)=\frac{2}{9} m a^2 \#(8) \quad 0^{\prime}
\end{gathered}
$$

设转角为 $\theta$ ，能量：

$$
\begin{gathered}
E=\frac{1}{2} I_c \dot{\theta}^2+\frac{1}{2} m g l\left(\frac{\sqrt{3} a \theta}{3 l}\right)^2 \#(9) \\
T=2 \pi \sqrt{\frac{2 l}{3 g}} \#(10) \quad
\end{gathered}
$$


Question: 质量为$m$的小球左右两边系着两个相同的理想轻弹簧，三者成一条直线，弹簧的远端都固定在墙上，弹簧的自然长度$l_0$很长，弹性系数为$k$，并且忽略所有重力。现在把小球沿着垂直于弹簧及三者直线的方向上拉开一个小距离$A$，其振动周期为$T$，求振动周期的表达式


Question: 某奇怪的星体对周围的物体存在有心的排斥力，并且，不论物体在哪，单位质量的物体受到的排斥力大小都是 $g$ 。找到两个点 $A, B$ ，这两个点到星体中心 $O$ 的距离都是 $l$ ，且有 $\angle A O B=2 \theta$ 。我们从 $A$ 到 $B$铺设一条光滑轨道，使得从 $A$ 以初速度 $v_0=\sqrt{2 g l}$ 抛出一个质点，质点会沿着轨道滑到 $B$ 点。求轨道的形状，使得从 $A$ 到 $B$ 时间最短。

解答：
最速降线问题可以用光线类比，对于质点，有机械能守恒

$$
\frac{1}{2} m v^2+(-m g r)=\frac{1}{2} m v_0^2+(-m g l)
$$

代入 $v_0=\sqrt{2 g l}$

$$
\Rightarrow v=\sqrt{2 g r}
$$

运动时间：

$$
t=\int \frac{\mathrm{d} l}{v} \sim \int n \mathrm{~d} l
$$

要求 t 最小，根据费马原理中光程最短，折射率可以与速度建立联系：

$$
n=\frac{k}{v}=\frac{k}{\sqrt{2 g r}}
$$

其中 k 是一个系数，对于轨道形状没有影响，在求得轨道形状的表达式中也不会出现。
由几何关系：

$$
\tan \alpha=\frac{r \mathrm{~d} \beta}{\mathrm{~d} r}
$$

根据折射定律

$$
n^{\prime} \sin \alpha^{\prime}=n \sin i^{\prime}
$$

由正弦定理

$$
\frac{r^{\prime}}{\sin i^{\prime}}=\frac{r}{\sin \alpha}
$$

联立两式可得：

$$
n \cdot \sin \alpha \cdot r=n^{\prime} \cdot \sin \alpha^{\prime} \cdot r^{\prime}=\mathrm{C}
$$

代入折射率表达式有

$$
\frac{k}{\sqrt{2 g r}} \cdot \sin \alpha \cdot r=\mathrm{C}
$$

可以得到：

$$
\left\{\begin{array}{l}
\sin \alpha=\frac{C_1}{\sqrt{r}} \\
\cos \alpha=\sqrt{1-\frac{C_1^2}{r}}
\end{array}\right.
$$
代入式（5）可得：

$$
\begin{aligned}
& \frac{\frac{C_1}{\sqrt{r}}}{\sqrt{1-\frac{C_1^2}{r}}}=r \cdot \frac{\mathrm{~d} \beta}{\mathrm{~d} r} \\
& \mathrm{~d} \beta=\frac{C \mathrm{~d} r}{\sqrt{r-C^2} \cdot r}
\end{aligned}
$$

换元，令 $u=\sqrt{r-C_1^2}, \mathrm{~d} r=2 u \mathrm{~d} u$

$$
\mathrm{d} \beta=\frac{C_1 2 u \mathrm{~d} u}{u\left(u^2+C_1^2\right)}=\frac{C_1 \cdot 2 \mathrm{~d} u}{u^2+C_1^2}
$$

积分得：

$$
\beta=2 \arctan \frac{u}{C_1}+C_2=2 \arctan \frac{\sqrt{r-C_1^2}}{C_2}+C_2
$$

很自然地选择 AOB 角平分线为极轴，则 $\beta= \pm \theta$ 时有 $r=l$ ，代入得

$$
l=C_1^2\left(1+\tan ^2 \frac{ \pm \theta-C_2}{2}\right)
$$

解得：

$$
\begin{aligned}
& C_1=\sqrt{\frac{l}{\cos ^2 \frac{\theta}{2}}} \\
& C_2=0
\end{aligned}
$$

代回式（14）并整理得：

$$
r=\frac{l \cos ^2 \frac{\theta}{2}}{\cos ^2 \frac{\beta}{2}}
$$

轨迹是抛物线


Question: 有一座圆锥形状的冰山（尖端向上），露出水面的高度是h，求它在水中小幅度上下浮动时的振动频率f


Question: Galileo 曾发现一个有趣的性质：考虑在坚直平面内的曲线，如果是半径 $R$ 的圆，则从其最高点出发的任意光滑弦轨道，质点在弦上由静止出发下滑到轨道末端所需要的时间都是相等的．已知重力加速度 $g$ ． （1）给出时间 $T$ ． （2）实际实验中轨道不可能是绝对光滑的，而是具有摩擦因数 $\mu$ ．此时，若希望从曲线顶端出发的弦上下滑到弦末端的时间为 $T$ ，求曲线的方程，用 $(x, y)$ 坐标表示． （3）质点下滑时还可能受到空气阻力，其正比于速度大小 $v$ ．对于质量为 $m$ 的质点，记空气阻力为 $\gamma m v$ ．仅考虑空气阻力，求时间 $T$ 的等时曲线方程，用 $(x, y)$ 坐标表示． （4）引入 Lambert $W$ 函数：若 $F(\omega)=\omega \mathrm{e}^\omega=q$ ，则 $\omega=W(q)$ ．对上问的空气阻力等时曲线，若曲线上点到原点的最大距离为 $D$ ，用 Lambert $W$ 函数显式写出 $T(D)$ 关系．注意，$W(q)$ 函数可以分为两支，若 $W(q) \geq-1$ ，记为 $W_0(q)$ ；若 $W(q)<-1$ ，记为 $W_{-1}(q)$ ，结果需明确给出所在的支． （5）考虑正比于速度 $\alpha(\geq 0)$ 次方的阻力．求 $\alpha$ 的取值，使得此阻力作用下的等时曲线是一个圆．

（1）考虑与竖直方向夹角 $\theta$ 的轨道，轨道长度

$$
s=2 R \cos \theta
$$

轨道加速度

$$
a=g \cos \theta
$$

因此

$$
T=\sqrt{\frac{2 s}{a}}=\sqrt{\frac{4 R}{g}}
$$

（2）考虑与坚直方向夹角 $\theta$ 的弦（ $\theta>0$ 侧）．支持力

$$
N=m g \sin \theta
$$

轨道加速度

$$
\ddot{s}=g(\cos \theta-\mu \sin \theta)
$$

时间 $T$ 要求弦长

$$
s=\frac{g T^2}{2}(\cos \theta-\mu \sin \theta)
$$

从而

$$
\begin{aligned}
& x=s \sin \theta=\frac{g t^2}{4}[\sin 2 \theta-\mu(1-\cos 2 \theta)] \\
& y=s \cos \theta=\frac{g t^2}{4}[(1+\cos 2 \theta)-\mu \sin 2 \theta]
\end{aligned}
$$
消参数

$$
\left(x+\mu \frac{g T^2}{4}\right)^2+\left(y-\frac{g T^2}{4}\right)^2=\left(\frac{g T^2}{4}\right)^2\left(1+\mu^2\right)
$$

依然是圆弧．考虑到对称性，$\theta<0$ 的部分方程为

$$
\left(x-\mu \frac{g T^2}{4}\right)^2+\left(y-\frac{g T^2}{4}\right)^2=\left(\frac{g T^2}{4}\right)^2\left(1+\mu^2\right)
$$

（3）此时

$$
\ddot{s}=g \cos \theta-\gamma \dot{s}
$$

考虑特解 $s=g t \cos \theta / \gamma$ 以及齐次方程通解 $s=A \mathrm{e}^{\gamma t}+B \mathrm{e}^{-\gamma t}$ 得到解

$$
s(t)=\left[\frac{g}{\gamma} t-\frac{g}{\gamma^2}\left(1-\mathrm{e}^{-\gamma t}\right)\right] \cos \theta
$$

此时等时曲线是一个圆，

$$
x^2+(y-R)^2=R^2, \quad R=\frac{g}{2 \gamma} T-\frac{g}{2 \gamma^2}\left(1-\mathrm{e}^{-\gamma T}\right)
$$

（4）最大距离显然是

$$
D=2 R
$$

这样，两者满足方程

$$
D=\frac{g}{\gamma} T-\frac{g}{\gamma^2}\left(1-\mathrm{e}^{-\gamma T}\right)
$$

根据定义，可以写为

$$
F\left(\gamma T-1-\gamma^2 D / g\right)=-\mathrm{e}^{-1-\gamma^2 D / g}
$$

这样，

$$
T=\frac{1}{\gamma}+\frac{\gamma D}{g}+\frac{1}{\gamma} W\left(-\mathrm{e}^{-1-\gamma^2 D / g}\right)
$$

注意到 $\gamma \rightarrow 0$ 的极限下，

$$
W\left(-\mathrm{e}^{-1-\gamma^2 D / g}\right)=\gamma T-\frac{\gamma^2 D}{g}-1 \simeq-1+\gamma T>-1
$$

因此应取 $W_0$ ，

$$
T=\frac{1}{\gamma}+\frac{\gamma D}{g}+\frac{1}{\gamma} W_0\left(-\mathrm{e}^{-1-\gamma^2 D / g}\right)
$$

（5）记阻力加速度为 $f(v)$ ，此时

$$
\ddot{s}=g \cos \theta-f(\dot{s})
$$

保持为一个圆，要求

$$
s=2 R(t) \cos \theta
$$

（18）
回带运动方程得到

$$
\frac{f[2 \dot{R}(t) \cos \theta]}{2 \cos \theta}=\frac{g}{2}-\ddot{R}(t)
$$

注意到左侧是依赖于 $\theta$ 的，而右侧不依赖于 $\theta$ ，当 $t$ 改变时，所有的 $\theta$ 对应的圆半径要同步变化，由此可知

$$
\alpha=1
$$

前面得到的圆轨道就是唯一的可能解．

x^2 + (y - R)^2 = R^2, \quad R = \frac{g}{2 \gamma} T - \frac{g}{2 \gamma^2}(1 - \mathrm{e}^{-\gamma T})

T = \frac{1}{\gamma} + \frac{\gamma D}{g} + \frac{1}{\gamma} W_0(-\mathrm{e}^{-1 - \gamma^2 D / g})


Question: 有一个半径为$r$的无自转星球，假设其质量集中在中心一点，已知绕该星球表面运行的卫星周期为$t_0$。从星球的表面发射一个炮弹，要求它返回到地面时和发射时的速度矢量是平行的，且从星球中心看来，炮弹发射和落地点之间的夹角是$\theta$。求这个炮弹在空中飞行了多长时间$t$？


Question: 有一可用摆线山谷，可用摆线描述（ $y$ 轴向下）： $$ \left\{\begin{array}{l} x=R(\theta-\sin \theta) \\ y=R(1-\cos \theta) \end{array}\right. $$ 有人想在山谷的一端 $(\theta=0)$ 静止释放一质量为 $M$ ，尺度为 $r$ 物体，观察其运动特征．山谷上附着若一层面密度为 $\sigma$ 的雪，雪与地面接触但无相互作用，且末与物体接触时保持静止，接触后附著在物体表面，但不改变物体形状．重力加速度取 $g$ ，有近似条件 $\sigma r R \ll M, r \ll$ $R$ ．现分以下三种情况（计算结果保留至 $r$ 一阶项即可）． （1）物体是半径为 $r$ ，高也为 $r$ 的普通圆柱，使其从山坡一端纯滚下落后物块将滑至山谷另一端．易知，它到不了另一端，但是也几乎能够到达，求在题目所示坐标系下物体能上升到的最高位置的 $y$ 坐标． （2）物体是长寃高均为 $r$ 的正方体，将之正对斜坡静止释放，同样求正方体在另一端能上升到的最高位置（不考虑覃滚的情形）． （3）物体是半径为 $r$ ，高也为 $r$ 的高科技圆柱，能够将表面附着的雪瞬间吸收并自我调整，使其密度均匀（注意，是使得整个圆柱的质量分布均匀而不是仅仅把雪在圆柱表面分布均匀）．释放高科技圆柱时山谷天气有变，参数 $(0 \leq \theta<\pi)$ 的区域仍有积雪，$(\pi \leq \theta \leq 2 \pi)$的另一半积雪螱化，剩下摩擦力极大使圆柱只能纯滚动的粗糙表面，求圆柱在另一端能上升到的最高位置．

2．［40 分］
（1）位置，并且设所附洧雪的重心头 $y_c$ ，可列出能超方程。

$$
M g \delta y+\sigma r\left(s_0-\delta s\right) g \cdot\left(-y_{\mathrm{e}}\right)=0
$$

其中 $\delta s$ 为剩下为附省的雪所占的长度，只有缡阶断响，可以忽略．
同时，完成对重心的积分

$$
y_c=\frac{1}{8 R} \int_0^{2 \pi} R(1-\cos \theta) 2 R \sin \frac{\theta}{2} \mathrm{~d} \theta=\frac{4}{3} R .
$$

最终得到

$$
\delta y=\frac{32}{3} \frac{\sigma R^2 r}{M}
$$

（2）
本小问能解不守恒，但是对其运动进行分析仍有一定困难，宩感到题目只要求精确到一阶项，可将上升亩度的损失分为两部分修正，修正过程中的运动考虑㙰阶即可。

对于方形块与雪碚撞的过程，考虑动量守恒

$$
M v=(M+\sigma r v \mathrm{~d} t)(v-\mathrm{d} v)
$$

得到

$$
\mathrm{d} v=-\frac{\sigma r v^2}{M I} d t
$$

过程中的能量损失为

$$
d E=\frac{1}{2}(M+\mathrm{d} M)(v+\mathrm{d} v)^2-\frac{1}{2}(M) v^2=-\frac{1}{2} \sigma r v^2 v \mathrm{~d} t=-\frac{1}{2} \sigma r v^2 \mathrm{~d} s
$$

本问的情况下可以视为直线运动，且方程不受加速度影响．因此可以对其进行独立修正．
零阶的速度表达式

$$
v_0=\sqrt{2 g R(1-\cos \theta)}
$$

代入积分

$$
\delta W=\int f \mathrm{~d} s=\int_0^{2 \pi}-g R(1-\cos \theta) \sigma r \cdot 2 R \sin \frac{\theta}{2} \mathrm{~d} \theta=-\frac{32}{3} g R^2 r \sigma
$$

得到由碰畝造成的能量损失，我们将其化为高度修正，再结合第一问附着雪的重力项修正，合成出到达的高度

$$
\begin{aligned}
& \delta y_f=\frac{32}{3} \frac{\sigma R^2 r}{M} \\
& \delta y_g=\frac{32}{3} \frac{\sigma R^2 r}{M} \\
& \delta y=\frac{64}{3} \frac{\sigma R^2 r}{M}
\end{aligned}
$$

合成的两项均为一阶并且不相互关联。
（3）
前半段能照不守恒，动量守恒．高科技圈柱在从表面调整质探到内部时㺂小了转动惯量，有做功，同时圆柱不纯滚

先列出动量角动量方程

$$
M v=(M+\mathrm{d} M)(v+\mathrm{d} v)
$$
$$
v r \mathrm{~d} M+\frac{1}{2} M r^2 \omega=\frac{1}{2}(M+\mathrm{d} M) r^2(\omega+\mathrm{d} \omega)
$$

可得

$$
\begin{gathered}
\mathrm{d} v=-v \frac{\mathrm{~d} M}{M} \\
\mathrm{~d} \omega=\left(2 \frac{v}{r}-\omega\right) \frac{\mathrm{d} M}{M}
\end{gathered}
$$

我们可以制断 $\mathrm{d} \omega$ 方程中 $\int \mathrm{d} M \ll M$ 故 $\omega \ll \frac{v}{r}$ ，可以进行近似．
将其积分至坡的底部 $\theta=\pi$ 处

$$
\begin{gathered}
\delta v=\int-v \frac{\sigma r}{M} \mathrm{~d} s=\int_0^\pi \sqrt{2 g R(1-\cos \theta)} \frac{\sigma R r}{M} 2 \sin \frac{\theta}{2} \mathrm{~d} \theta=-2 \pi \sqrt{g R} \frac{\sigma r R}{M} \\
\delta \omega=-2 \frac{\delta v}{r}
\end{gathered}
$$

在底部圆柱与摩擦力极大的轨道接触，立即变为纯滚，列出角动量守恒．有初态

$$
\begin{gathered}
v=v_0+\delta v \\
\omega=\delta \omega
\end{gathered}
$$

角动量守恒：

$$
\begin{gathered}
v+\frac{1}{2} \omega r=\frac{3}{2} v^{\prime} \\
v^{\prime}=\frac{2}{3} v_0=\frac{4}{3} \sqrt{g R}
\end{gathered}
$$

求得起始速度 $v^{\prime}$ ．此时一阶项消失，因为类碰撞产生的能量损失与质量调整产生的能量增加达到平衡．动能转化为重力势能，求出圆柱最终到达位置

$$
\begin{gathered}
E_k=\frac{1}{2} M^{\prime} \cdot \frac{3}{2} V^{\prime 2}=\frac{4}{3} M^{\prime} g R \\
y=\frac{2}{3} R
\end{gathered}
$$


Question: 磁场与转动参考系的等效 设空间中存在电场 $\vec{E}$ 和匀强磁场 $\vec{B}$ 。某惯性系 $S$ 中以某点 $O$ 为原点建立柱坐标系 $\{r, \theta, z\}$ ，使得磁感应强度为 $\vec{B}=B \hat{z}$（其中 $\hat{z}$ 是 $z$ 方向的单位矢量）。设在此惯性系内有一个质量为 $m$ ，带电量为 $q>0$ 的质点在平面 $z=0$ 中运动，其位置矢量记为 $\vec{r}(t)$ ，速度矢量记为 $\vec{v}^{\prime}$ 。所有讨论都只考虑电磁力并且忽略相对论效应。 （1）请写出矢量形式的质点运动方程。 （2）洛伦兹力项的形式让我们联想到科里奥利力，本问尝试探究二者之间的关联。 （2．1）假设空间中存在一转动非惯性系，考察该非惯性系下的一个质点。用 $\vec{v}^{\prime}$ 表示质点相对转动参考系的速度，用 $\vec{\Omega}$ 及 $\dot{\vec{\Omega}}$ 表示非惯性系的角速度和角加速度。认为不同的参考系原点始终重合，则在该非惯性系下质点受到的惯性力有哪几种？分别写出它们的名称和矢量表达式。 （2．2）求一个合适的角速度 $\vec{\omega}$ ，使得在该角速度转动的非惯性参考系下，质点受到的科里奥利力与（1）中质点受到的洛伦兹力不论形式上还是数值上完全等同。 （3）上述讨论启发我们把磁场所在的惯性系 $S$ 看成一个转动非惯性系 $K^{\prime}$ ，将洛伦兹力等效为非惯性系下质点受到的科里奥利力，从而可以转换到与 $K^{\prime}$ 相对应的惯性系 $K$（ $K^{\prime}$ 与 $K$ 的原点始终重合）中讨论任何可能遇到的问题－—这样做有时是方便的。完成从 $K^{\prime}$ 到 $K$ 的参考系变换，给出 $K$ 系中矢量形式的质点运动方程。 提示：从惯性系转换到非惯性系，运动方程中需要引入惯性力——这里是从非惯性系转换到惯性系，运动方程中应当减去惯性力。 （4）利用以上方法解决以下问题：保持原题干条件，额外给出电场 $\vec{E}$ 对应的电势分布 $$ V=\frac{1}{2} \frac{k}{q} r^2 $$ 其中 $k$ 是常数，$r=|\vec{r}|$ ，质点在这样的电磁场中做半径为 $R$ 的匀速圆周运动。 （4．1）在原惯性系 $S$ 中求匀速圆周运动的角速度 $\dot{\theta}$ 。 （4．2）在匀速圆周运动的平面内给质点一个径向的小扰动，在（3）中所说的 $K$ 系中求径向小振动的角频率。

解：（1）矢量形式的质点运动方程为

$$
m \ddot{\vec{r}}=q\left(\vec{E}+\vec{v}^{\prime} \times \vec{B}\right)
$$

带入 $\vec{E}=-\nabla V-\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}$ 或 $\vec{B}=\nabla \times \vec{A}$ 也算对。
（2．1）还有 3 种：
惯性离心力（或离心力）

$$
\vec{F}_C=-m \vec{\Omega} \times(\vec{\Omega} \times \vec{r})=-m \Omega^2 \vec{r}
$$

切向惯性力

$$
\vec{F}_\tau=-m \dot{\vec{\Omega}} \times \vec{r}
$$

科里奥利力（或科氏力）

$$
\vec{F}_{\text {Cor }}=-2 m \vec{\Omega} \times \vec{v}^{\prime}
$$

由于认为不同参考系原点始终重合，这里没有平动惯性力，也没有区分 $\vec{r}^{\prime}$ 和 $\vec{r}^{\prime}$ ，但如果把
（2）（3）中的 $\vec{r}^{\text {写成 } \vec{r}^{\prime} \text { 也算对；不写＂} \vec{F}_C=" \text { ，＂} \vec{F}_\tau=" \text { 和＂} \vec{F}_{C o r}=\text {＂不算错 }}$
（2．2）令

$$
q \vec{v}^{\prime} \times \vec{B} \equiv 2 m \vec{v}^{\prime} \times \vec{\Omega}
$$

显然可以取
$$
\vec{\Omega}=\frac{q}{2 m} \vec{B}
$$

（3）注意到

$$
-q \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}=-\frac{1}{2} q \frac{\partial}{\partial t}(\stackrel{\rightharpoonup}{B} \times \vec{r})=-\frac{1}{2} q \dot{\vec{B}} \times \vec{r}=-m \dot{\vec{\Omega}} \times \vec{r}
$$

这里没有 $\frac{\partial \vec{r}}{\partial t}$ 项是因为应该先求出 $\vec{r}$ 处的 $\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}$（此时 $\vec{r}$ 不是质点的位矢）再代入运动方程（此时 $\vec{r}$才是质点的位矢）
把（5）（7）代入（1），$S$ 系即 $K^{\prime}$ 系中矢量形式的运动方程可以写为

$$
\begin{gathered}
m \ddot{\vec{r}}=-q \nabla V-m \dot{\vec{\Omega}} \times \vec{r}--2 m \vec{\Omega} \times \vec{v}^{\prime} \\
=-q \nabla V+m \vec{\Omega} \times(\vec{\Omega} \times \vec{r})-m \vec{\Omega} \times(\vec{\Omega} \times \vec{r})-m \dot{\vec{\Omega}} \times \vec{r}--2 m \vec{\Omega} \times \vec{v}^{\prime}
\end{gathered}
$$

变换参考系，减去惯性力得到 $K$ 系中矢量形式的运动方程

$$
m \ddot{\vec{r}}=-q \nabla V+m \vec{\Omega} \times(\vec{\Omega} \times \vec{r})=-q \nabla V-m \Omega^2 \vec{r}
$$

这里同样没有区分 $\vec{r}$ 和 $\vec{r}^{\prime}$（特别注意左边的加速度）
（4．1）理所当然地取 $\theta$ 增大方向为 $\dot{\theta}$ 的正方向，在极坐标系中写出运动方程

解得

$$
\begin{gathered}
m\left(-R \dot{\theta}^2\right)=-q \frac{k}{q} R+q R \dot{\theta} B \\
\dot{\theta}=-\omega \pm \sqrt{\omega^2+\frac{k}{m}}=-\frac{q B}{2 m} \pm \sqrt{\left(\frac{q B}{2 m}\right)^2+\frac{k}{m}}
\end{gathered}
$$

（4．2）设 $K$ 系中极坐标的角度为 $\varphi$ ，则

$$
\dot{\varphi}_0=\dot{\theta}+\Omega
$$

其中，$\dot{\varphi}_0$ 是径向扰动前的角速度
径向扰动后，取 $r=R+\delta, K$ 系中极坐标系下的运动方程为

$$
m\left(\ddot{\delta}-(R+\delta) \dot{\varphi}^2\right)=-k(R+\delta)-m \omega^2(R+\delta)
$$

由于扰动是径向的，角动量守恒

$$
m R^2 \dot{\varphi}_0=m(R+\delta)^2 \dot{\varphi}
$$

考虑到 $|\delta| \ll R$ ，把（14）代入（13）并取一级近似得到小振动方程

$$
\ddot{\delta}+4 \dot{\varphi}_0{ }^2 \delta=0
$$

小振动角频率即为

$$
\omega=2\left|\dot{\varphi}_0\right|=2 \sqrt{\left(\frac{q B}{2 m}\right)^2+\frac{k}{m}}
$$

m \ddot{\vec{r}}=q(\vec{E}+\vec{v}^{\prime} \times \vec{B})

惯性离心力: $\vec{F}_C=-m \Omega^2 \vec{r}$，切向惯性力: $\vec{F}_\tau=-m \dot{\vec{\Omega}} \times \vec{r}$，科里奥利力: $\vec{F}_{\text{Cor}}=-2 m \vec{\Omega} \times \vec{v}^{\prime}$

m \ddot{\vec{r}}=-q \nabla V-m \Omega^2 \vec{r}

\dot{\theta}=-\frac{q B}{2 m} \pm \sqrt{\left(\frac{q B}{2 m}\right)^2+\frac{k}{m}}

\omega=2 \sqrt{\left(\frac{q B}{2 m}\right)^2+\frac{k}{m}}


Question: 我们拥有一个平凸透镜，凸面是曲率半径 R 的球面，材料折射率为 n ，空气折射率为 1 ，现在一束平行光（波长 $\lambda$ ）从平面垂直入射到透镜上，理论上讲，光会汇聚到焦点上，但事实上，由于衍射以及球差的影响，光会在焦面上形成一个圆形光斑。请求：透镜的孔径（直径） D 为多大时，这个光斑最小 $(\mathrm{R} \gg \lambda)$ 。

七，解：
先估计一下 D 的量级，由于光斑最小时，衍射光斑与几何像差光斑大小相同，而由 D 趋于 0时，衍射光斑区域无穷大，几何光斑趋于 0 无需计算即可知，衍射光斑含 D 的负次幕，几何光斑含 $D$ 的正次幕，所以最后 $D$ 的形式应还是

$$
\mathrm{D}=\mathrm{A} \cdot \lambda^{\mathrm{k}} \mathrm{R}^{1-\mathrm{k}}
$$

所以

$$
\mathrm{R} \gg \mathrm{D} \gg \lambda
$$

————5

我们以主光轴为 x 轴，平面为 $\mathrm{x}=0$
首先求出焦面位置，距离凸面顶点

$$
\mathrm{f}=\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{n}-1}
$$

凸面距离平面

$$
\Delta=\mathrm{R}-\sqrt{\mathrm{R}^2-\mathrm{D}^2 / 4}=\frac{\mathrm{D}^2}{8 \mathrm{R}}
$$

所以

$$
x_F=\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{n}-1}+\frac{\mathrm{D}^2}{8 \mathrm{R}}
$$

先算衍射效应，光斑半角宽

$$
\theta=1.22 \frac{\lambda}{\mathrm{D}}
$$

所以衍射光斑半径（保留最低非零阶）

$$
r_1=1.22 \frac{\lambda}{\mathrm{D}} \frac{\mathrm{R}}{\mathrm{n}-1}
$$

接着分析非傍轴光线，假设光线到光轴距离 h ，则入射角

$$
a=\arcsin \frac{h}{\mathrm{R}}
$$
————4

入射点的横坐标

$$
\mathrm{x}=\Delta-\left(\mathrm{R}-\sqrt{\mathrm{R}^2-\mathrm{h}^2}\right)=\frac{\mathrm{D}^2-4 \mathrm{~h}^2}{8 \mathrm{R}}
$$

出射角由折射定律决定

$$
\beta=\arcsin \frac{\mathrm{nh}}{\mathrm{R}}
$$

出射光线与 $x$ 轴夹角

$$
\delta=\beta-a
$$

利用泰勒展开公式

$$
\arcsin x=x+\frac{1}{6} x^3 \quad(x \ll 1)
$$

得

$$
\delta=(\mathrm{n}-1) \frac{\mathrm{h}}{\mathrm{R}}+\frac{\mathrm{n}^3-1}{6}\left(\frac{\mathrm{~h}}{\mathrm{R}}\right)^3
$$

光线传播到焦面时到 x 轴的距离

$$
r_2=\left|\hbar-\left(x_F-x\right) \tan \delta\right|
$$

将其展开并保留首阶非零项

$$
r_2=\frac{n^2 \hbar^3}{2 R^2}
$$

我们发现这是单调递增的，所以光斑的半径

$$
r_2=\frac{n^2 D^3}{16 R^2}
$$

光斑最小，即

$$
\begin{gathered}
r_1=r_2 \\
1.22 \frac{\lambda}{\mathrm{D}} \frac{\mathrm{R}}{\mathrm{n}-1}=\frac{n^2 D^3}{16 R^2}
\end{gathered}
$$

最后解出

$$
D=\sqrt[4]{\frac{19.52}{n^2(n-1)} \lambda R^3}
$$

注：比较简单的一道光学题，但小量近似比较繁琐，需要技巧。


Question:
黄老师悠悠球玩得不错，蔡老师决定用悠悠球玩学生。将悠悠球视作质量为\(m\)、半径为\(R\)的匀质圆柱，中间有质量可忽略不计、半径为\(r\)的轴，轻绳绳十分柔软，已经在轴上绕了若干圈。桌面有缝，可以使轻绳通过。
(1) 基础知识考察，此悠悠球以其中心轴为轴转动时的转动惯量\(I_{1}\)为______；
(2) 轻绳下挂一质量为\(nm\)（已知）的小重物\(A\)，若悠悠球与桌面间光滑，先用手保持的静止状态，则释放的瞬间，\(A\)物体的加速度\(a_{1}\)为______；
(3) 利用平行轴定理，可以知道悠悠球沿平行于中心轴且过\(B\)点的轴转动时的转动惯量\(I_{2}\)为______；
(4) 若第(2)问中，悠悠球与桌面间摩擦系数足够，释放后悠悠球纯滚动，则释放瞬间\(A\)物体的加速度\(a_{2}\)为______，悠悠球中点的加速度\(a_{2}\)为______，\(B\)点处正压力\(N_{1}\)为______，摩擦力\(f_{1}\)为______，摩擦系数至少为\(\mu_{1}\)为______。


Question: （转动圆盘上的小球会被甩出去么）我们考虑一个简单的物理模型，一个半径为 $R$ 的圆盘水平放置，恒定角速度 $\omega_0$ 绕着过圆心的坚直轴旋转。一个半径为 $a$ 的匀质小球在圆盘上做纯滚动。 （1）假设小球可以绕着圆盘圆心做稳定的匀速圆周运动，半径为 $r$ ，求匀速圆周运动相对地面的角速度。（2）我们考虑更一般的情况，探究一下一个小球放在匀速转动的圆盘上是否会被甩出去。同样考虑 $小$ 球只能在圆盘上做纯滚动的情况，请导出小球圆心矢径 $\vec{r}$ 满足的微分方程。 （3）相对于地面的匀速圆周运动（旋转中心不一定是圆盘圆心）的旋转角速度。

解：
（1）假设小球的自转总角速度为 $\vec{\omega}_z$ ，小球相对于圆盘圆心转动的角速度为 $\vec{\omega}_1$ ，方向与圆盘自转角速度相同。

根据速度牵连关系，小球与圆盘接触点速度大小为 $\omega_0 r$ ，与接触点圆盘速度相同。而小球与圆盘接触点速度可以分解为小球球心速度叠加相对球心自转速度。根据假设，小球球心速度大小为 $\omega_1 r$ ，方向与圆盘与小球接触点速度方向相同。于是可以得到小球的自转角速度为 $\omega_z=\frac{\left(\omega_1-\omega_0\right) r}{a}$ ，方向指向圆盘圆心方向。
（分析三分）

假设圆盘对小球的摩擦力大小为 $F$ ，方向指向圆盘圆心，对小球球心建立牛顿第二定理：

$$
F=m \omega_1^2 r
$$

同时，相对于小球的球心，只有摩擦力 $F$ 提供力矩，根据转动定理：

$$
\vec{M}=I \frac{d \vec{\omega}_z}{d t}
$$

（两个力学方程4分）
上式等号左边为力矩，大小为 $F a$ ，方向与小球速度正方向相同。等号右边为小球的转动惯量 $I=\frac{2}{5} m a^2$
乘以小球自转角速度随时间的变化率。由于小球自转角速度 $\omega_z=\left(\omega_1-\omega_0\right) \frac{r}{a}$ 大小不变，方向以 $\omega_1$ 角速度旋转，于是上式等号右边矢量大小为 $\frac{2}{5} \operatorname{mar} \omega_1\left(\omega_1-\omega_0\right)$ ，方向与小球速度正方向相反。于是我们有：

$$
F=\frac{2}{5} m r \omega_1\left(\omega_0-\omega_1\right)
$$

（4 分）
于是我们有：

$$
\frac{2}{5} \omega_1\left(\omega_0-\omega_1\right)=\omega_1^2
$$

于是我们得到 $\omega_1$ 的两个可能取值 $\omega_1=0$ 以及 $\omega_1=\frac{2}{7} \omega_0$ 。我们发现小球圆周运动的角速度并不依赖于半径，这启发我们可以得到更一般的结论。
（答案 4 分）
（2）设 $\vec{a}$ 为从小球球心指向小球与圆盘接触点的坚直矢径，根据速度牵连关系，我们有：

$$
\vec{\omega}_0 \times \vec{r}=\dot{\vec{r}}+\vec{\omega}_z \times \vec{a}
$$

（4分）
将上式对时间求导，得：

$$
\vec{\omega}_0 \times \dot{\vec{r}}=\ddot{\vec{r}}+\vec{\omega}_z \times \vec{a}
$$

同样假设圆盘对小球的摩擦力为 $\vec{F}$ ，根据对小球球心的牛顿第二定律：

$$
\vec{F}=m \ddot{\vec{r}}
$$

以小球球心为轴，对小球列转动定理：

$$
\vec{a} \times \vec{F}=I \dot{\vec{\omega}}_z
$$

（力学方程 6 分）
综合以上两式，再叉乘上一个 $\vec{a}$ ，我们有：

$$
\vec{a} \times \ddot{\vec{r}} \times \vec{a}=\frac{2}{5} a^2 \dot{\vec{\omega}}_z \times \vec{a}
$$

由于 $\vec{r}$ 描述小球球心得矢径， $\overrightarrow{\vec{r}}$ 一定在水平面内，与 $\vec{a}$ 垂直，上式可以写为：

$$
\ddot{\vec{r}}=\frac{2}{5} \dot{\vec{\omega}}_z \times \vec{a}
$$

根据牛顿第二定律给出的关系，我们可以得到：

$$
\ddot{\vec{r}}=\frac{2}{5}\left(\vec{\omega}_0 \times \dot{\vec{r}}-\ddot{\vec{r}}\right)
$$

也就是：

$$
\ddot{\vec{r}}=\frac{2}{7} \vec{\omega}_0 \times \dot{\vec{r}}
$$

（数学过程＋最后结果 10 分）
（3）假设小球球心做圆周运动，圆周运动中心为 $\vec{r}_0$ ，角速度为 $\vec{\omega}_1$ ，小球球心矢径写为：

$$
\vec{r}=\vec{r}_0+\vec{\rho}
$$

于是我们有 $\dot{\vec{r}}=\vec{\omega}_1 \times \vec{\rho}, \ddot{\vec{r}}=-\omega_1^2 \vec{\rho}$ ，带入运动方程：

$$
-\omega_1^2 \vec{\rho}=\frac{2}{7} \vec{\omega}_0 \times\left(\vec{\omega}_1 \times \vec{\rho}\right)=-\frac{2}{7} \omega_0 \omega_1 \vec{\rho}
$$

于是我们同样得到：

$$
\omega_1=0, \frac{2}{7} \omega_0
$$

（8 分酌情给）


Question: 轻杆$O_2A$长$l_1$，可以绕$O_2$点转动，A处同一个质量$m$的小球连接。$O_1A$是一个阻尼器，阻尼系数为$\mu$，$O_1$点在$O_2$点正下方，A处和同一个小球连接。初始时刻，轻杆$O_2A$处于竖直位置，$O_1A$长$l_2$。建立系统的振动微分方程（不要做任何近似）

将阻尼力处理为广义力，利用拉格朗日方程即可得到


Question: 平方反比力是有心力场中最重要的一个例子．本题我们进一步考虑平方反比排斥力中粒子轨道的性质．我们关注一个问题：以相同速度发射的粒子的轨迹的包络线的形状．建立直角坐标系和极坐标系．粒子限制在 $x y$ 平面内运动。 （1）守恒量． 设原点处固定一电荷，使得粒子具有势能 $$ U(r)=\frac{\alpha}{r}, \quad a>0 $$ , 在极坐标中写出粒子的运动方程 （2）平行释放．考虑从 $-x$ 方向无穷远处平行入射的粒子，入射速度为 $v_{\infty}$ 。考虑某一特定粒子，设入射时具有角动量 $L_z(\neq 0)$ ．记粒子运动到某一点 B 时的速度 $\boldsymbol{v}=\left(v_x, v_y\right)$ ． （i）求 $v_x, v_y, v^2$ ，用 $\phi, L_z, \alpha$ 表示． （ii）利用上面的结果，求粒子的轨迹方程 $r(\phi)$ ． （iii）若在 $y \in(-\infty,+\infty)$ 范围内均有粒子从 $-x$ 方向平行入射，求粒子不能到达的区域的边界方程并判断曲线类型． （3）定点释放． 现在再考虑这样一个特殊情况：粒子从 $x$ 负半轴上的 A 点出发，粒子 A 点到原点的距离为 $R$ ．从 A 点向平面内各方向以速度 $v_0$ 发射，求粒子不能到达的区域的边界方程，并判断曲线类型．用 $R$ 和无量纲常量 $A=2 \alpha / m v_0^2 R(A<$ 1）表示结果．

（1）受力

$$
\boldsymbol{F}=\frac{\alpha}{r^2} \hat{r}
$$

从而两个方程

$$
\begin{aligned}
\ddot{r}-r \dot{\phi}^2 & =\frac{\alpha}{m r^2} \\
r \ddot{\theta}-2 \dot{r} \dot{\theta} & =0
\end{aligned}
$$

（2）
（i）考虑 $\boldsymbol{H}$ 从 $-\infty$ 到 B 点的守恒：

$$
v_{\infty}=v_x-\frac{\alpha}{L_z} \sin \phi, \quad-\frac{\alpha}{L_z}=v_y+\frac{\alpha}{L_z} \cos \phi
$$

解得

$$
v_x=v_{\infty}+\frac{\alpha}{L_z} \sin \phi, \quad v_y=\frac{\alpha}{L_z}(1+\cos \phi)
$$

从而

$$
\begin{aligned}
v^2 & =\left(v_{\infty}+\frac{\alpha}{L_z} \sin \phi\right)^2+\frac{\alpha^2}{L_z^2}(1+\cos \phi)^2 \\
& =v_{\infty}^2+2 \frac{\alpha^2}{L_z^2}(1+\cos \phi)+2 \frac{\alpha}{L_z} v_{\infty} \sin \phi
\end{aligned}
$$

（ii）根据能量守恒，$v^2$ 满足

$$
v^2=v_{\infty}^2-2 \frac{\alpha}{m r}
$$

联立得到

$$
r=-\frac{\alpha}{m} \frac{1}{k^2(1+\cos \phi)+k v_{\infty} \sin \phi}, \quad k=\frac{\alpha}{L_z}
$$

（iii）考虑恒定 $\phi$ 处粒子可到达的最小 $r$ ，对应

$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} k}\left[k^2(1-\cos \phi)+k v_{\infty} \sin \phi\right]=0
$$

解得

$$
k_c=-\frac{a v_{\infty} \sin \phi}{2(1+\cos \phi)}, \quad r_{\min }=\frac{\alpha}{m} \frac{4(1+\cos \phi)}{v_{\infty}^2 \sin ^2 \phi}=\frac{4 \alpha}{m v_{\infty}^2} \frac{1}{1-\cos \phi}
$$

如果写为直角坐标，

$$
x=\frac{m v_{\infty}^2}{8 \alpha} y^2-\frac{2 \alpha}{m v_{\infty}^2}
$$

是
拋物线
（15）
（3）设出射时与 $x$ 方向夹角 $\theta$ ，同理可得

$$
V_0 \cos \theta=V_x-\frac{\alpha}{L_z} \sin \phi, \quad V_0 \sin \theta-\frac{\alpha}{L_z}=V_y+\frac{\alpha}{L_z} \cos \phi
$$

从而

$$
v^2=v_0^2+2 \frac{\alpha}{L_z} v_0[\sin (\phi-\theta)-\sin \theta]+2\left(\frac{\alpha}{L_z}\right)^2(1+\cos \phi)
$$

能量守恒给出

$$
\begin{aligned}
\frac{1}{m r} & =-\alpha \sigma^2(1+\cos \phi)+\sigma v_0 \sin (\phi-\theta) \\
& =-\alpha \sigma^2(1+\cos \phi)+v_0 \sin \phi \sqrt{\sigma^2-\frac{1}{m^2 R^2 v_0^2}}-\frac{\cos \phi}{m R}
\end{aligned}
$$

这里 $1 / \sigma=L_z=m v_0 R \sin \theta$ ．对 $\sigma$ 求导可得

$$
\sqrt{\sigma_c^2-\frac{1}{\mu^2 R^2 V_0^2}}=\frac{V_0 \sin \phi}{2 \alpha(1+\cos \phi)}
$$

回带得到包络线方程

$$
\frac{1}{r_{\min }}=\frac{1}{R} \frac{1+A}{2 A}[(1-A)-(1+A) \cos \phi]
$$

是
双曲线
（20）

离心率为 $e=(1+A) /(1-A)>1$ ．

$\ddot{r}-r \dot{\phi}^2 =\frac{\alpha}{m r^2}, r \ddot{\theta}-2 \dot{r} \dot{\theta} =0$

$v^2 =v_{\infty}^2+2 \frac{\alpha^2}{L_z^2}(1+\cos \phi)+2 \frac{\alpha}{L_z} v_{\infty} \sin \phi$

$r=-\frac{\alpha}{m} \frac{1}{k^2(1+\cos \phi)+k v_{\infty} \sin \phi}, \quad k=\frac{\alpha}{L_z}$

$x=\frac{m v_{\infty}^2}{8 \alpha} y^2-\frac{2 \alpha}{m v_{\infty}^2}$，抛物线


Question: 有一质量为 $m$ 的卫星在 XY 平面内绕地球作半径 $R=2 R_E$ 的圆周运动，沿Z轴负方向观察其作顺时针转动。地 球视作质量为 $M$ ，半径为 $R_E$ 的匀质球体。另一质量为 $\frac{1}{2} m$ ，在无 穷远处速度为零的彗星被地球俘获，其轨道在YZ平面内，对称轴为 Z 轴，沿 X 轴负方向观察沿顺时针运动。卫星与彗星在 $(0, R, 0)$ 处发生完全非弹性碰撞。 （1）试求碰撞后结合体的速度 $\vec{v}$ ，以及碰撞后结合体运动轨道的半长轴 $a$ ，离心率 $e$ 。 （2）求卫星彗星从碰撞到结合体与地球碰撞所用时间 $t$ ，用 $G, M, R_E$ 表示。 提示：拋物线极坐标参数方程 $$ r=\frac{p}{1+\cos \theta} $$

解：
（1）卫星做圆周运动，速度

$$
v_1=\sqrt{\frac{G M}{R}} \hat{x}
$$

彗星与卫星焦半径相同，则在焦半径处角向速度大小相同

$$
v_{2 z}=-\sqrt{\frac{G M}{R}}
$$

在无穷远处速度为零，则总能量为零，可知

$$
v_{2 y}=\sqrt{\frac{G M}{R}}
$$

发生完全非弹性碰撞，碰撞前后动量守恒

$$
m v_1+\frac{m}{2} v_2=\frac{3 m}{2} v
$$
碰撞后速度

$$
v=\frac{1}{3} \sqrt{\frac{G M}{R}}(2 \hat{x}+\hat{y}-\hat{z})
$$

碰后单位质量能量

$$
\epsilon=\frac{1}{2} v^2-\frac{G M}{R}=-\frac{2}{3} \frac{G M}{R}
$$

单位质量角动量大小

$$
h=R v_t=\frac{\sqrt{5}}{3} \sqrt{G M R}
$$

则轨道参数

$$
\begin{gathered}
a=-\frac{G M}{2 \epsilon}=\frac{3}{4} R \\
e=\sqrt{1+\frac{2 \epsilon h^2}{G^2 M^2}}=\frac{\sqrt{21}}{9}
\end{gathered}
$$

（2）$\epsilon<0$ ，为椭圆轨道，到地心最近距离

$$
r_{\min }=a(1-e)=0.368 R<\frac{R}{2}=R_E
$$

故会发生碰撞。
轨道焦半径

$$
p=a\left(1-e^2\right)=\frac{5}{9} R
$$

轨道极坐标方程为

$$
r=\frac{p}{1+e \cos \theta}
$$

初始时刻 $r_1=R$ ，可知对应角度

$$
\theta_1=\arccos \left(\frac{1}{e}\left(\frac{p}{r_1}-1\right)\right)=\pi-\arccos \frac{4}{\sqrt{21}}
$$

由于初始径向速度大于零，碰撞角大于 $\pi$ 。碰撞时 $r_2=\frac{R}{2}$ ，则

$$
\theta_2=2 \pi-\arccos \left(\frac{1}{e}\left(\frac{p}{r_2}-1\right)\right)=2 \pi-\arccos \frac{1}{\sqrt{21}}
$$

由角动量定理

$$
h=r^2 \dot{\theta}
$$

联立（7）（12）（15）式知用时

$$
t=\frac{p^2}{h} \int_{\theta_1}^{\theta_2} \frac{\mathrm{~d} \theta}{(1+e \cos \theta)^2}
$$

代入数值

$$
t=\frac{1}{8}(4+3 \sqrt{3} \pi) \sqrt{\frac{R^3}{G M}}
$$


Question: 镁合金具有密排六方晶体结构，其最容易开动的滑移系是基面位错滑移、其次是柱面位错滑移。含有Al和Ca元素的镁合金，在时效热处理之后会生成平行于基面的片状析出相，它们主要强化柱面滑移系，对基面滑移系的强化效果较弱。对于铸造后固溶热处理的棒材和挤压棒材，沿着棒材高度方向进行拉伸测试，请问哪一种材料在时效热处理后强度提升更加明显？

挤压棒材在时效后的强度提升更明显


Question: 为什么合金钢热处理时采用比碳钢更长的保温时间？

合金元素的扩散速率远低于碳，且会形成特殊碳化物阻碍碳扩散，导致奥氏体均匀化更困难。


Question: 简述在低碳钢中发生贝氏体相变时，随温度降低形成的贝氏体形态演化特征及原因。

由高温向低温，贝氏体转变顺序：无碳化物贝氏体-粒状贝氏体-上贝氏体-下贝氏体。\n显微组织演变顺序：温度下降，铁素体内位错密度升高，惯习面指数增大，铁素体内碳浓度升高。\n无碳化物贝氏体：铁素体条内和条间均无碳化物，条间距离宽，残余奥氏体多，随后冷却到室温，残余奥氏体可能分解为珠光体、贝氏体，马氏体或保留残奥；\n粒状贝氏体：主演形成于低碳钢中，是位向相近的铁素体条连成片，残奥分割孤立成岛状；\n上贝氏体：羽毛状，由同位向条组成束，铁素体内低碳，碳化物在条间残奥中析出；\n下贝氏体：低碳条状，高碳透镜状，碳化物在铁素体内析出。\n


Question:
（1）含碳量0.4%的亚共析钢，由940℃缓慢冷却到略高于723℃，计算钢中奥氏体的重量百分比和先析出铁素体的重量百分比。
（2）当继续缓慢冷却到室温后，计算珠光体中渗碳体和铁素体的厚度百分比。

奥氏体：50.7%，先析出铁素体：49.3%

渗碳体与铁素体的厚度比约为1:7.9


Question: 何谓珠光体层片间距？它的尺寸主要取决于什么？与奥氏体的晶粒度与均匀性有无关系？

在片状珠光体组织中，一对铁素体片和渗碳体片的总厚度称为珠光体层片间距（S0）。 主要取决于珠光体的形成温度（或过冷度）。 与奥氏体的晶粒度与均匀性无关。


Question: 材料的回复是不是包括位错密度的降低和晶界面积的减少？

材料的回复(recovery)包括空位和位错密度的降低，但是晶界面积的减少属于晶粒长大

位错密度的降低属于回复，晶界面积的减少不属于回复。


Question: 有哪几种类型的蠕变？主要特征是什么？

位错蠕变，以位错攀移为特征 Coble蠕变（称晶界蠕变也可以），以晶界扩散为特征 Herring蠕变（称扩散蠕变也可以），以体扩散为特征


Question: 半径为 R 的球，相互接触排列成体心立方结构，试计算能填入其空隙中的最大小球半径 r 。

体心立方结构晶胞中最大的空隙的坐标为（ $0,1 / 2,1 / 4$ ）。
在体心立方结构中，同样存在八面体和四面体空隙，但是其形状、大小和位置与面心立方紧密堆积略有不同
设：大球半径为 R ，小球半径为 $\mathrm{r}_0$ 则位于立方体面心、棱心位置的八面体空隙能够填充的最大的小球尺寸为：

$$
r=a_0-2 R=4 / \sqrt{3} R-2 R=0.3094 R
$$
位于立方体（ $0.5,0.25,0$ ）位置的四面体空隙能够填充的最大的小球尺寸为：
$$
r=(\sqrt{5} / 4) a_0-R=\sqrt{5} / 4 \times(4 / \sqrt{3}) R-R=0.291 R
$$


Question: 一碗被对称地倒置并浸入密度为 \( SG = 15.6 \) 的稠密流体中，浸入深度为$ 200\,\text{mm}$（从碗边缘沿中心线测量）。碗的高度为 $80\,\text{mm}$，流体在碗内上升了$ 20\,\text{mm}$。碗由粘土配方制成，比重\( SG = 6.1 \)，内径为$ D=100 \,\text{mm}$，碗本身的体积约为 $0.9 L$。计算将碗固定在当前位置所需的力$F$。

\( F_B = \rho \cdot g \, V \)
\(\Sigma F_y = 0\)
\(\Sigma F_y = 0 = F_B - F - W\) \( F = F_B - W \)
 \( F_B = SG_{\text{流体}}(\rho_{H2O} \cdot g \cdot V_{\text{浸没}}) \) \( V_{\text{浸没}} = V_{\text{碗}} + V_{\text{空气}} \)
 \( W = SG_{\text{碗}}(\rho_{H2O} \cdot g \cdot V_{\text{碗}}) \)
浮力公式\( F = SG_{\text{流体}}(\rho_{H2O} \cdot g \cdot (V_{\text{碗}} + V_{\text{空气}}) - SG_{\text{碗}}(\rho_{H2O} \cdot g \cdot V_{\text{碗}})) \)
简化后为\( F = \rho_{H2O} \cdot g \left[ SG_{\text{流体}}(V_{\text{碗}} + V_{\text{空气}}) - SG_{\text{碗}}(V_{\text{碗}}) \right] \)
代入数值 \[ F = 999 \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \times 9.81 \cdot \frac{\text{m}}{s^2} \times \left( 15.6 \times 0.9 \text{L} \times \frac{\text{m}^3}{1000 \text{L}} + (0.08 - 0.02) \cdot \frac{\pi \cdot (0.1 \cdot \text{m})^2}{4} \right) - 5.7 \times 0.9 \text{L} \times \frac{\text{m}^3}{1000 \text{L}} \times \frac{\text{N} \cdot s^2}{\text{kg} \cdot \text{m}} \] \[ F = 159.4 \text{N} \]


Question: 一直径为$65\,\text{mm}$的茶杯，想象用一个垂直平面对称地将其切成两半。计算由于$80\,\text{mm}$深的茶水，茶杯每一半所受到的力$F_R$。

   \[ F_R = \int p \, dA \]

   \[ \frac{dp}{dh} = \rho \cdot g \]

   \[ F_R = p_c \cdot A \]

   \[ h = 8 \, \text{cm} \]
   \[ w = 6.5 \, \text{cm} \]

   \[ F_R = \int p \, dA = \int \rho \cdot g \cdot y \cdot dA \]
   \[ dA = w \cdot dy \]
   \[ F_R = \int_0^h \rho \cdot g \cdot y \cdot w \, dy = \frac{\rho \cdot g \cdot w \cdot h^2}{2} \]

   \[ F_R = p_c \cdot A = \rho \cdot g \cdot y_c \cdot A = \rho \cdot g \cdot \frac{h}{2} \cdot w = \frac{\rho \cdot g \cdot w \cdot h^2}{2} \]

   \[ F_R = \frac{1}{2} \times 999 \, \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \times 9.81 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \times 6.5 \, \text{cm} \times (8 \, \text{cm})^2 \times \left( \frac{\text{m}}{100 \, \text{cm}} \right)^3 \times \frac{\text{N} \cdot \text{s}^2}{\text{kg} \cdot \text{m}} \]
   \[ F_R = 2.04 \, \text{N} \]


Question:
阻断 CTLA-4、PD-1 或 PD-L1 的免疫检查点抑制剂（ICI），对多种癌症类型非常有效，并且有可能实现治愈。然而，某些癌症类型对 ICI 治疗通常无反应，而且即使在已获批治疗的癌症类型中，其疗效也存在很大差异。
1.	黑色素瘤、错配修复缺陷型结肠癌以及非小细胞肺癌对免疫检查点抑制剂（ICI）的反应是由其什么所驱动的，而这是新抗原的一个潜在丰富来源？
2.	透明细胞肾细胞癌一直以来都被认为是一种“免疫原性”肿瘤，ccRCC 存在许多什么类型的突变，使其并不能预测对 ICI 的应答
3.	与其他类型的肿瘤相比不同的是，在 ccRCC 中，T 细胞浸润增加是一个不良的预后生物标志物，且对 ICI 治疗的应答的预测也不一致。在大多数 ccRCC 中，什么是肿瘤起始事件。其形成一种泛素连接酶，将什么作为降解目标。只有在氧敏感的 EglN 双加氧酶对其进行脯氨酸羟基化之后，它才能够识别 。它的别构抑制剂什么最近获批用于治疗 ccRCC。

插入和缺失（INDEL）

pVHL肿瘤抑制蛋白的失活；异二聚体HIF转录因子的α亚基；贝组替凡（belzutifan）


Question:
与植物根相关的微生物，称为根系微生物群，对植物生长和健康很重要。根系微生物群促进植物生长并保护植物免受生物和非生物胁迫。反过来，根系微生物群的组成受宿主遗传学的调节，例如水杨酸依赖性免疫系统， 磷酸盐饥饿途径和植物代谢物进一步阐明根系微生物群如何调节植物表型，特别是重要的农艺性状，将为改善作物生长和可持续农业实践铺平道路。
1. 水稻 （Oryza sativa L.） 是世界上最重要的作物之一，是世界上 40% 以上人口的主食来源。水稻分蘖在很大程度上决定了穗数，而分蘖的数量是决定粮食产量的关键因素。 水稻分蘖的发育过程包括两个步骤，分蘖芽形成和芽生长， 受关键基因控制的，如水稻的什么和水稻 的什么，以及植物激素，如什么。水稻分蘖数也受环境因素的影响，如光照、温度和土壤养分。 水稻根系募集不同的土壤细菌群落，其组成在整个水稻生命周期中发生变化。这些微生物与水稻基因型密切相关，并影响养分利用。
2. Roseateles R780和Piscinibacter R1801可以显著什么分蘖；Exiguobacterium R2567, Burkholderia R2488和Pleomorphomonas R1405可以显著什么分蘖？发现Roseateles R780和Exiguobacterium R2567对分蘖的调控依赖于水稻什么途径，但以不同方式发挥功能：Roseateles R780的促进作用依赖于什么，而Exiguobacterium R2567的抑制作用更依赖于什么？

MONOCULM1 (MOC1)；TEOSINTE BRANCHED1 (OsTB1)；独脚金内酯 (SLs)

促进；抑制；SL；SL的合成及信号转导；SL信号转导


Question:
为了在活体哺乳动物大脑记录到高质量胞外神经元单细胞放电活动（single-unit activity）， 下面的说法正确的是：  （   ）
A)	电生理信号采集系统的采样频率不可以设置在1000赫兹以下。
B)	电生理信号采集系统的带通滤波器通带范围可以设置在0.03-9000赫兹。
C)	确保电极的阻抗值在合理的范围内。
D)	尽可能地屏蔽环境中的电磁噪音干扰并排除电生理信号中的运动相关伪迹。
E)	确保电生理信号采集系统接地良好。


Question: 一种拟寄生蜂——姬蜂（Venturia canescens）可寄生印度谷螟（Plodia interpunctella）和地中海斑螟（Ephestia kuehniela）的幼虫。将两种幼虫隔离，彼此之间没有资源竞争，但拟寄生蜂可以在不同宿主种之间随意移动。在资源充足的情况下，一个系统包含拟寄生蜂和两种宿主，那寄生蜂对具有较低什么的宿主影响更大？（与种群水平特性相关）。


Question:
相比地球，太空环境带来了全新的生存压力。首先，微重力影响流体动力学，改变了微生物的附着和传播模式。其次，国际空间站（ISS）暴露在高强度的宇宙辐射中，这可能导致微生物的突变，使其生存策略发生变化。此外，密闭环境使得微生物能够长期停留在特定表面上，形成生物膜，甚至影响宇航员的健康。而且，在有限资源的情况下，ISS 内部的有机物、清洁剂、人体代谢物等都可能成为微生物的潜在养分来源。
1. 过去的研究表明，ISS 中的微生物群落与地球上的有显著差异。某些耐受极端环境的菌株可能在 ISS 内部生存时间更长，并表现出更高的抗生素耐受性。例如，什么和什么可能在 ISS 内部形成稳定种群。
2. 研究发现，ISS内的微生物主要来源于宇航员的皮肤、鼻腔和肠道，请判断什么是微生物扩散的重要途径？

金黄色葡萄球菌；伯克氏菌 粪便传播


Question:
一个典型的松弛肌节长约 $3 \mu \mathrm{~m}$ ，收缩时长约 $2 \mu \mathrm{~m}$ 。肌节中细丝长约 $1 \mu \mathrm{~m}$ ，粗丝长约为 $1.5 \mu \mathrm{~m}$ 。
（1）估算在松弛和收缩时粗丝和细丝的重叠情况。
（2）一次循环中肌球蛋白沿细丝滑行＂一步＂移动约 7.5 nm ，问一次收缩中每个肌动蛋白纤维需要进行多少个步？

（1）当松弛时重叠总长度为：$(1+1)-(3-1.5)=0.5 \mu \mathrm{~m}, 0.5 / 2=0.25 \mu \mathrm{~m}$ 当
收缩时重叠总长度为：$(1+1)-(2-1.5)=1.5 \mu \mathrm{~m}, 1.5 / 2=0.75 \mu \mathrm{~m}$
因此，松弛时粗丝和细丝重叠约 $0.25 \mu \mathrm{~m}$ ，收缩时粗丝和细丝重叠约 $0.75 \mu \mathrm{~m}$ 。
（2）$(0.75-0.25) \times 10^3 / 7.5 \approx 67$
故一次收缩中每个肌动蛋白纤维需要进行约 67 步。

松弛时粗丝和细丝重叠约$0.25\mu\mathrm{~m}$，收缩时粗丝和细丝重叠约$0.75\mu\mathrm{~m}$

一次收缩中每个肌动蛋白纤维需要进行约 67 步